第一章节数值分析与科学计算引论幻灯片.pptVIP

误差放大 5千倍! 但如果利用递推公式 因此在计算公式选用及算法设计时,应注意以下原则 1. 四则运算中的稳定性问题 (1) 防止大数吃小数 这一类问题主要由计算机的位数引起 假如作一个有效数字为4位的连加运算 误差会放大 误差不会放大 误差的传播与积累 例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！ NY BJ 以上是一个病态问题 而如果将小数放在前面计算 在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加, 如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法. (2) 作减法时应避免相近数相减 两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失 由于 在算法设计中,若可能出现两个相近数相减,则改变 计算公式,如使用三角变换、有理化等等 例9. 解方程 解: 由中学知识韦达定理可知,方程的精确解为 而如果在字长为8,基底为10的计算机上利用求根公式 机器吃了 因此在计算机上 上式是解二次方程的数值公式 (3) 避免小数作除数和大数作乘数 由误差传播的估计式 在算法设计时,要避免这类算法在计算公式中出现 2. 提高算法效率问题 (1) 尽量减少运算次数 15次乘法运算而不是255次 使用秦九韶算法 对多项式 可大大减少计算量 (2) 尽量使用耗时少的运算 (3) 充分利用存储空间. 哈尔滨工程大学信息与计算科学系 数值分析研究的对象与特点 误差的来源与误差分析的重要性 误差的基本概念 数值运算中误差分析的方法与原则 小结 第一章 绪 论 算法的研究和应用正是本课程的主题 ！ 现代科学研究的三大支柱 理论研究 科学实验 科学计算 计算数学 21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在” 21世纪信息社会对科技人才的要求： --会“用数学”解决实际问题 --会用计算机进行科学计算 第一节 数值分析研究的对象与特点 数值分析也常称为计算方法，或者叫数值计算方法。是研究用计算机解决数学问题的数值方法及其理论，是把理论与计算机紧密结合起来，着重研究数学问题的数值方法及其理论。 它的内容包括： 建立数学模型 选取数值计算方法 程序设计 上机计算求得结果 科学计算解题过程 实际问题 数值分析具有的特点： 第一：面向计算机； 第二：有可靠的理论分析； 第三：有较好的计算复杂性； 第四：有数值试验； 第二节 误差来源与误差分析的重要性 模型误差 在建立数学模型过程中,要将复杂的现 象抽象归结为数学模型,往往要忽略一 些次要因素的影响,而对问题作一些简 化,因此和实际问题有一定的区别； 观测误差 在建模和具体运算过程中所用的数据往 往是通过观察和测量得到的,由于精度的 限制,这些数据一般是近似的,即有误差； 由于计算机只能完成有限次算术运算和 逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷 截断误差 过程进行的运算有限化,对无穷过程进行截断,这就带来误差； 舍入误差 在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因计算机受到机器字长的限制,它所能表示的数据只能有一定的有限位数,如按四舍五入规则取有限位数,由此引起的误差。 如: 若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差 Taylor展开 过失误差 由于模型错误或方法错误引起的误差. 这类误差一般可以避免 数值计算中除了过失误差可以避免外,其余误差都是 难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考 虑和分析的就是截断误差和舍入误差 经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得惊人, 因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象. 第三节 误差的基本概念 1．绝对误差与绝对误差限 例 2:若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长， 大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。 1.45米的 绝对误差=？ 不知道！ 是近似值的 绝对误差,简称为误差。 定义1：设x是准确值，x*为x的一个近似值，称 （1.5） 但实际问题往往可以估计出 不超过某个正数 ，即， ，则称 为绝对误差限，有了绝对误差限 就可以知道x范围为 即x落在 内。在应用上，常常采用下列 写法来刻划x*的精度。 2．相对误差和相对误差限 （1.6） 定义2：设x是准确值，x*是近似值，称 满足 则称 为的相对误差限。 为近似值 的相对误差，相应地，若正数 ， relative error 绝对误差限 相对误差限 往往未知 代替相对误差 代替相对误差限 因此 例1. 解: 例2. 解: 可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将 不超过其末位数