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第4章第6课时 三角恒等变换 一、选择题 1．(2011·淮南模拟)若sin2α＝－，α∈，则sinα＋cosα等于(　　) A．－　　　　 B.　　　　 C．－　　　　 D. 解析：(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝1－＝. 又α∈，∴sinα＋cosα＞0. ∴sinα＋cosα＝. 答案：B 2．(2011·浙江杭州模拟)＋2的化简结果是(　　) A．4cos4－2sin4 B．2sin4 C．2sin4－4cos4 D．－2sin4 解析：原式＝＋2 ＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|. ∵＜4＜，∴cos4＜0，sin4＜cos4. ∴原式＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4. 答案：D 3．函数f(x)＝sin4x＋2sinxcosx＋cos4x的最小值是(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：f(x)＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＋2sinxcosx ＝－2sin2xcos2x＋2sinxcosx＋1 ＝－(sin2x)2＋sin2x＋1 ＝－(sin2x－1)2＋， ∴当sin2x＝－1时，f(x)min＝－. 答案：C 4．关于函数y＝sin2x－cos2x图像的对称性，下列说法正确的是(　　) A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称 C．关于点对称 D．关于点对称 解析：y＝sin2x－cos2x＝2sin， 当x＝时，y不取最值也不等于零，A、C错． 当x＝时，y＝0， ∴该函数图像关于点对称，D正确. 答案：D 5．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)·sin2x，x∈R，则f(x)是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 解析：∵f(x)＝(1＋cos2x)·sin2x ＝(1＋cos2x)＝(1－cos22x) ＝ ＝－cos4x， ∴f(x)的最小正周期为，是偶函数. 答案：D 6．tan70°·cos10°(tan20°－1)等于(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 解析：tan70°·cos10°(tan20°－1) ＝·cos10°(·－1) ＝· ＝＝＝－1. 答案：C 二、填空题 7.＝__________. 解析：＝＝＝2. 答案：2 8．(2011·镇江模拟)已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωxcosωx，x∈R，又f(α)＝－，f(β)＝，若|α－β|的最小值为，则正数ω的值为__________． 解析：f(x)＝＋sin2ωx＝＋sin， 由题意知，f(x)的个周期为π， ∴×＝π，∴ω＝. 答案： 9．(2010·天津模拟)已知f(x)＝sin－cos，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＋f(2 009)＝__________. 解析：∵f(x)＝sin－cos ＝2sin＝2sinx， ∴f(x)的周期T＝＝8. 又f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＋f(2 009) ＝f(1)＋251×0＝2×sin＝. 答案： 三、解答题 10．(2011·长沙模拟)已知函数f(x)＝2cosxcos－sin2x＋sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期； (2)当α∈[0，π]时，若f(α)＝1，求α的值. 解析：(1)f(x)＝2cosxcos(x－)－sin2x＋sinxcosx ＝cos2x＋sinxcosx－sin2x＋sinxcosx ＝cos2x＋sin2x＝2sin， ∴T＝π. (2)由f(α)＝1，得sin(2α＋)＝. 又α∈[0，π]，∴2α＋∈[，]． ∴2α＋＝，或2α＋＝. 故α＝，或α＝. 11．(2011·泉州模拟)已知函数f(x)＝2sin2－cos2x，x∈. (1)求f(x)的最大值和最小值； (2)若不等式|f(x)－m|＜2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围． 解析：(1)∵f(x)＝－cos2x＝ 1＋sin2x－cos2x＝1＋2sin. 又∵x∈，∴≤2x－≤， 即2≤1＋2sin≤3. ∴f(x)max＝3，f(x)max＝2. (2)∵|f(x)－m|＜2f(x)－2＜m＜f(x)＋2，x∈， ∴m＞f(x)max－2，且m＜f(x)min＋2， ∴1＜m＜4，即m的取值范围是(1,4). 12．已知向量a＝(1－tanx,1)，b＝(1＋sin2x＋cos2x,0)，记f(x)＝a·b. (1)求函数f(x)的解析式并指出它的定义域； (2)若f＝，且α∈，求f(α)． 解析：(1)f(x)＝a·b ＝(1－tanx,1)·(1＋sin2x＋cos2x,0