第4章留数2012-9-25zb.pptVIP

4.1 留数及留数定理 4.2 利用留数定理计算定积分 4.1 留数及留数定理 4.2 用留数定理计算实积分 例4.2.3 计算积分 例4.2.4 计算积分 解: 例4.2.5 计算积分 第4章 留数定理 * 1. 留数的定义 设 z0 是 f (z) 的孤立奇点，则 f (z) 在点 z0 的去心邻域 0 |z－z0 | R内的积分 ，称为 f (z) 在孤立奇点 z0 的留 ( 残 ) 数 ( residue )，记为： 定理 (柯西留数定理) : f (z) 在围线 (或复围线) l 所围的区域 B 内有 n 个孤立奇点 b1、b2、…、bn，则 2. 留数定理 l B 3. 留数的计算 1) 一般方法 将 f (z) 在孤立奇点 z0 的邻域内展成洛朗级数，利用公式 求留数。 例4.1.1 求 解 例4.1.2 2) 可去奇点 3) 极点 一阶极点 m 阶极点 例4.1.3 计算积分 例4.1.4 计算积分 解：被积函数 共有六个奇点 ① 两个二阶极点 ② 四个三阶极点 它们都在|z|=4内，留数的计算十分麻烦 方法 例4.2.1 设 a 0，计算积分 解： 共有四个一阶极点 其中只有 b0 和 b1 在上半平面内，于是： 例4.2.2 计算积分 解： 在上半平面有两个一阶极点为 ai 和 bi， 约当Jordan引理 CR 方法 证 ??? 0,?? R0 0, 使当 R R0 时, 有 于是有 CR 解： 而