计算机数学课件第六章.pptVIP

第 6 章 定积分 知识点 定义 性质 牛顿莱布尼兹公式 换元 分部 应用 难点 变上限函数 换元积分法 分部积分法 定积分应用 要求 正确理解 定积分概念 熟练掌握 换元积分法 分部积分法 正确应用 牛顿莱布尼兹公式计算定积分 计算广积积分 求曲线的弧长 6.1定积分定义 定义1 设函数 在[a，b]上连续，在[a，b]上任意 插入若干个分点 此时将区间[a，b]分成n个小区间，在每个小区间 [ ]上任取一点 （ ）作和式 ，这里 为区间的长度，记 如果不论对[a，b]的分发如何不同及在 [ ]上如何选取，只要 时 都又唯 一确定的极限S，这时我们称S为函数 在[a，b] 上的定积分。记作 即 并称 为被积函数，称 为被 积表达式，x称作积分变量，[a，b]称作积 分区间，a为积分下限，b为积分上限。 6.2定积分的基本性质 1)对任意常数k都有 2) ；这个性质 可以推广到有限多个函数的代数和的情况。 3)不论a，b，c三点相互位置如何，恒有 如 4) 若在[a，b]上，恒有 ,则 特别是若在[a，b]上，有 则 。 5）如果函数 在区间[a，b]上连续，则在 [a，b]内至少有一点 ，使得下式成立： 6.3微积分基本定理 定义2 我们称 为变上限函数。这 是因为当上限x在区间[a，b]上任意变动时，对 于x的每一个相应的定积分就由一个确定的值与 之对应，根据函数的定义，这个定积分就在区 间[a，b]上定义了一个函数，故而可记为： 简称为变上限函数。 定理1 如果函数 在区间[a，b]上连续，则变上限函数 在区间（a，b）内可导，并且 （ ）即：变上限函数对变上限x的导数等于被积函数在上限x处的值。 定理2 原函数存在定理）如果函数 在 区间[a，b]上连续，则函数 是 函数 在区间[a，b]上的一个原函数。 定理3 （牛顿——莱布尼兹公式）设函数 在区间[a，b]上连续，且 是 的一个原 函数，则 或 例 求 解 例 求 解 = 例 求 解 6.4定积分的计算 6.4.1定积分的换元法 定理4设函数 在区间[a，b]上连续，对于定积 分 作变量代换 。如果 1） 在区间[ ]上又连续导数。 2）当变量t从 变到 时， 单调 地变到 则又下列定积分换元公式： 6.4.2 定积分的分部积分法 定理5 设函数 与 在区间[a，b] 上有连续导数，则有下列定积分的分部积 分公式： 例 求 解 设 ，则 ， 当 时， ； 时， 所以 例 求 解 令 ，有 ；当 时， ；