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第一章 随机事件与概率 本章小结 概率论是研究随机现象及其统计规律性的数学学科。本章主要介绍概率论的两个主要概念：随机事件及其概率。主要内容包括：随机事件和随机事件的概率的定义、古典概型和几何概型、条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式、以及事件的独立性等。这些内容是进一步学习概率论的基础。 §1.1随机事件 基本概念：随机现象、随机现象的统计规律性、随机试验、样本点、样本空间、随机事件、必然事件、不可能事件等。 事件的关系和运算 事件的包含、相等、并（和）、交（积）、差、互不相容事件、对立事件及完备事件组。定义见教材P4-P6. （三） 随机事件的运算律（相应于集合运算性质都成立） 交换律： 结合律： 分配律： De Morgan 对偶律： §1.2 随机事件的概率 概率的定义 古典概型中概率的定义:P(A)= 几何概型中概率的定义： 统计定义：当试验次数n增大时，事件A的频率在某一数p附近摆动，则P(A)=p. 公理化定义：对样本空间中任意事件A,定义数P(A)满足： ① ② ③ 概率的性质 若 若 条件概率 定义： 性质：具有无条件概率的一切性质。 三个重要公式： ①乘法公式 ②全概率公式： ③ 贝叶斯公式： 独立性 定义： 性质： 两两独立与相互独立：设任意三事件A,B,C,满足 贝努利概型： 难点解析 本章内容有三个难点: 古典概型与几何概型中概率的计算； 条件概率的理解和计算;事件的独立性的理解和判断。 全概率公式和贝叶斯公式。 古典概型是概率论初期的研究对象，是最简单的一类概率模型。这种概率模型满足两个假设条件： 基本结果只有有限个；每个基本结果出现的可能性相同。所以古典概型又叫等可能概型。它的计算公式虽然简单：，但由于很多问题中k,n的确定都用到排列组合知识，所以使得这部分计算成为比较难以解决的问题。学习这部分内容时，首先应复习以前的加法原理，乘法原理，排列数，组合数等知识，然后多做题目，对同一类型的进行归纳总结。 几何概型是对古典概型的推广。它将基本事件推广到有无限多个情形。这时试验的样本空间是中的一个区域，每一个样本点出现的可能性相同。则这时点落入区域A内的概率等于当n=1,2,3时，分别表示长度、面积和体积。 条件概率的计算有两种方法： 古典概型用缩减样本空间法； 其他概型用定义和公式法。 注意：条件概率和无条件概率的大小无确定关系。若 全概率公式应用于求某一较杂事件的概率时，直接计算不易求出， 这是将这一复杂事件分解成两个或若干个小事件的和，而这些小事件的概率是容易求出的。做这样题目时，可以将一个大事件的分解画成概率树的形式，直观易懂。 贝叶斯公式是全概率公式的推广。它的思路和全概率公式正好相反，全概率是由因求果，而贝叶斯是由果求因，所以它又称贝叶斯决策。主要应用于鉴别废品来源。 习题分析 本章习题基本包含以下几种题型： 1、事件的表示及事件的关系和运算； 2、应用概率性质计算概率； 3、古典概型和几何概型的概率计算； 4、利用独立性和伯努利概型计算概率； 5、条件概率的计算； 6、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式 下面以习题一中的几个习题为例做出分析与解答. 例1 P29 part(A) 3. 例2 P29 part(A) 6. 例3 P30 part(A) 10. 对于古典概型的题目，有一个重要的模型为“分房模型”，下面以课本上P14例1.14为例： 例4 P14 例1.14（分房模型）：将n个球随意的放入N个箱子中()， 其中每一个球都等可能的放入任意一个箱子，求下列各事件的概率： 指定的n个箱子各放一球； 每个箱子里最多放一球； 某指定的箱子不空； 某指定的箱子恰好放入k()个球； 某指定的一个箱子没有球； 恰有n个箱子中各有一球； 至少有两个球在同一个箱子中. 解： n个球随意的放入N个箱子中，共有种放法，记(1)-(6)为 分房模型可应用于很多类似场合： 例5 P30 part(A) 13. 解：本题中的人可视为“球”， 365看作365个盒子，为n个人的生日各不相同，这相当于每个盒子至多有一个球，所以 . 例6 P31 part(A) 22. 解: x表示甲船到达时间，y表示乙船到达时间，须等待空出码头为：甲先到，乙随后一小时到，，或乙先到，甲随后两小时到，则， A=“须等待空出码头” 则：. P32 part(A) 35 解：这道题强调了互不相容和独立性之间的关.A,B互不相容，说明P(AB)=P()=0