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导数及其应用（选修II） 【考点解读】 1．导数（选修II）高考考核要求为：①导数的概念及某些实际背景，导数的几何意义，几种常见函数的导数；②两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式；③利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等。 2．比例与题型：导数是高中新教材改革后新加进的知识之一，从近几年全国统考试卷及2004年浙江卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大（12分），一小（5分）的两题格局上（2004年浙江卷是如此），是新教材的一个主要得分点。 3．命题热点难点是：①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。 4．体系整合 5．复习建议：①学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化。②导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。 热点一：导数的几何意义 函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x0))处的切线的斜率是f′(x0)，于是相应的切线方程为y－y0=f′(x0) (x－x0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。 【错题分析】 [错例1] （2004天津卷20（2））曲线f(x)=x3－3x，过点A(0，16)作曲线f (x)的切线，求曲线的切线方程。 误解：f (x)=3x3－3，根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率(0)=－3，所以曲线的切线方程为y=－3x＋16。 剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点A (0，16) 不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线的方程。 正确解法：设切点坐标，则切线的斜率，切线方程，又因为点M在切线上，所以得 【典型题例】 例1:设P0 (x0，y0) 为曲线C : y=x3 (x＞0)上任意一点，过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1，y1)，然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(x2，y2)，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…，Pn，Qn＋1，…，已知x0=9，设Pn (xn，yn) (n∈N)。 （1）求出过点P0的切线方程。 （2）设xn=f (n) (n∈N)，求f (n)的表达式； （3）求的值。 点拨 本例涉及到求切线方程的问题,其关键在于掌握切线的斜率等于切点的导数 解析 （1）y′=3x2，∵P0 (9，93)，∴切线P0Q1的斜率， ∴过P0点的切线即直线P0Q1的方程为y－93=243 (x－9)，即243x－y－1458=0. （2）过Pn (xn，yn)的切线的斜率为kn=3x，切线方程为y－yn=kn(x－xn)， 即y－x=3x (x－xn). 令y=0得 x=xn－=x，即Qn＋1的横坐标为xn， 又∵直线Qn＋1Pn＋1∥y轴，∴P n＋1的横坐标xn＋1=xn，由于x0=9，∴数列是公比为的等比数列∴xn=x0 · ()n=9×()n，则f (n) = 9×()n，（n∈N） （3）==27 点评：求切线方程关键在于切点，因为切点不仅是直线上的一个点，而且它给出切线的方向(切点的导数);应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。 【热点冲刺】 1．已知曲线y=sinx,x在P点切线平行于直线x－2y=0，则P点坐标为。 2．若a＞0，f (x) =ax2＋bx＋c，曲线y=f (x)在点P (x，f (x0))切线倾角为[0，]，则P到y=f (x)对称轴距离为（ B ） A、[0，] B、[0，] C、[0，||] D、[0，||] 3．（预测题） (1990日本高考题)．设抛物线y=x2与直线y=x＋a（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹。 解答：将y=x＋a代入y=x2整数得x2－x－a=0 为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△= (－1)2＋4a＞0，所以a＞－ 设此两交点为(α，α2)，(β, β2)，α＜β，由y=x2知y′=2x，则切线l1，l2的方程为 y=2αx－α2，y=2βx－β2. 两切线交点为(x，y) 则 因为α，β是①的解，由违达定理可知α＋β=1，αβ=－a 由此及②可得x=，y=－a＜