高考圆锥曲线题型之共线向量问题.docVIP

题型五：共线向量问题 解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。 例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：于P、Q两点，且,求实数的取值范围。 分析：由可以得到，将P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲线方程，解出点的坐标，用表示出来。 解：设P(x1,y1),Q(x2,y2),(x1,y1-3)=(x2,y2-3)即方法一：方程组消元法又P、Q是椭圆+=1上的点消去x2，可得即y2=又－2y22，－22解之得：则实数的取值范围是。 方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：，由消y整理后，得P、Q是曲线M上的两点＝即 ①由韦达定理得： 即 ②由①得，代入②，整理得，解之得当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或。总之实数的取值范围是。方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。 例题8：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，，求的值． 的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点O到直线的距离为． （1）求椭圆C的方程； （2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点，较y轴于点M，若，求直线l的方程． 山东2006理 双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线。 求双曲线C的方程； (II)过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）。当，且时，求Q点的坐标。 解： （Ⅱ）解法一： 由题意知直线的斜率存在且不等于零。 设的方程：， 则 在双曲线上， 同理有： 若则直线过顶点，不合题意. 是二次方程的两根. ， 此时. 所求的坐标为. 解法二： 由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程，，则. ， 分的比为. 由定比分点坐标公式得 下同解法一 解法三： 由题意知直线的斜率存在且不等于零 设的方程：，则. ， . ， ，， 又， 即 将代入得 ，否则与渐近线平行。 。 解法四： 由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：， 则 , 。 同理 . 即 （*） 又 消去y得. 当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。 由韦达定理有： 代入（*）式得 所求Q点的坐标为。 练习：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）点P为椭圆上一点，弦PA、PB分别过焦点F1、F2，（PA、PB都不与x轴垂直，其点P的纵坐标不为0），若，求的值。 解：（1）设椭圆C的方程为：，则b=1，由，得，则椭圆的方程为： （2）由得：，设， 有得： 解得：， 根据PA、PB都不与x轴垂直，且，设直线PA的方程为：，代人，整理后，得： 根据韦达定理，得：，则， 从而， 同理可求 则 由为椭圆上一点得：， 则， 故的值为18.