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三、对坐标曲线积分的计算 解 直线段AB的方程是 化为参数方程得 例 4 计算 从点A（3，2，1）到点B（0，0，0的直线段AB。 是 所以 解 由假设有 处受到力F的作用， F 功W。 例 5 设一个质点在 的大小与M到原点O的距离成正比，F的方向恒指 按逆时针方向移动到点 B（0，b），求力F所作的 向原点.此质点由点A（a，0）沿椭圆 利用椭圆的参数方程： 起点A、 终点B分别对应参数0， 于是 于是 例6：计算 ? 的方向：从 z 轴正向看 ? 按逆时针方向 解： 计算的关键是将? 的方程 表示成参数方程。 将? 投影到 xoy 面上，投影记为 起点 B， 终点 B 起点 A， 终点 A 例6：计算 ? 的方向：从 z 轴正向看 ? 按逆时针方向 解： 起点 A， 终点 A 原式 = 解： 例6：计算 ? 的方向：从 z 轴正向看 ? 按逆时针方向 起点 A， 终点 B 注意 为动点 ( x , y ) 处的一个切向量 指向： 则 的方向余弦为 四、两类曲线积分的关系 上页 返回 下页 高等数学 一、问题的提出 二、对坐标的曲线积分的概念 三、对坐标的曲线积分的计算 四、两类曲线积分的关系 五、小结与练习 一、问题的提出 物体在常力F的作用下 由A点运动到B点，力 F所作的功为 其中 为F与AB 的夹角 由向量的数量积知 考虑：质点在变力F的 其中 方法：元素法 作用下由A点沿曲线L运 动到B点，求变力F所作 的功 实例: 变力沿曲线所作的功 常力沿直线所作的功 分割 一质点在平面变力 的作用下从 A 沿 L 移动到 B ，计算变力所作的功。 规定 L 的方向为 求和 取极限 近似值 精确值 用 ? 表示所有小弧段的最大长度 定义 设 L 为 xoy 面内从 A 到 B 的一条有向光滑曲线弧, 函数 P(x , y ) ，Q (x , y) 在 L 上有界, 将 L 分成 n 个小有向弧段 任取 分别作乘积表达式 在 L 上沿 L的方向依次插入 n ? 1 个分点 设 二、对坐标的曲线积分的概念 并分别作和 分别作乘积表达式 用 ? 表示所有小弧段的最大长度， 如果当 ? ? 0 时, 的极限总存在 且与 L 的分法及点 的取法无关， 为 P (x , y) 在 有向曲线弧 L 上对 坐标 x 的曲线积分 记为 则称此极限 并分别作和 分别作乘积表达式 如果当 ? ? 0 时, 的极限总存在 且与 L 的分法及点 的取法无关， 为 Q (x , y) 在 有向曲线弧 L 上对 坐标 y 的曲线积分 记为 则称此极限 对坐标的曲线积分统称为第二类曲线积分 被积函数 积分弧段 积分和式 坐标微分 平面变力 沿 L 所作的功 若记 则 （1）所谓“对坐标的曲线积分”，有两个特征： 积分和是在有向曲线弧 L 上作出的； 积分和中的微元素是有向小弧段所对应的关于 坐标 x 和 y 的增量。 几点说明： 即被积表达式中的微分是关于坐标 x 和 y 的微分。 （2）当 P (x , y) , Q (x , y) 在有向光滑曲线弧 L 上 连续时，第二类曲线积分都存在 （3）L 处处光滑的情形可以推广到分段光滑的情形 （4）推广至空间的情形 同理 若记 则 三、第二类曲线积分的性质 （3）设 L 是光滑曲线弧， 是 L 的反向曲线弧，则 这说明第二类曲线积分与曲线 L 的方向有关。 因为 所以 但第一类曲线积分的性质（3）： 对第二类曲线积分不成立。 因为 而 可正可负。 假设 L 的方程为 起点 A 终点 B 并设 t 由 ? 单调变至 ? 时，动点由起点 A 沿 L 的方向运动至终点 B 则参数值 单调增加或减少 假设 L 的方程为 起点 A 终点 B 其中， 代入上述积分和中得 假设 L 的方程为 起点 A 终点 B 上式右端可以看作关于 t 的一元复合函数 在 ? 与? 之间的积分和 因此 定理 设 P ( x , y ) 在有向曲线弧 L 上有定义且连续， 并设 L 的参数方程为 则 存在，且有 起点 A 终点 B 并设 t 由 ? 单调变至 ? 时，动点由起点 A 沿 L 运动至终点 B， 同理有 合并起来 （1）应用公式时，用 L 的方程 及微分公式 替换被积表达式， 然后从 起点 A 对应的参数 ? 到 终点 B 对应的参 数 ? 作定积分即可。 （2）公式右边的定积分中，积分下限 ? 对应起点 A ， 积分上限 ? 对应终点 B ，因此，? 不一定小于 ? 。 （3）在 中，点 ( x , y ) 必须满足 L 的方程 公式的其它几种情形 x = a 对应起点 A，x = b 对应终点 B 因此有 公式的其它几种情形 y = c 对应起点 A，y = d 对