机械控制工程5章-2.pptVIP

§5-2 Routh稳定判据 一、系统稳定的必要条件 * * 设系统特征方程为 将(1)式两边同除以an ，分解因式，得： 将(2)式右端展开，得： 比较(2)(3)式，可知 特征根与方程系数间有下述关系： 一、系统稳定的必要条件 若系统稳定，即特征根全部具有负实部，则各系数必须满足： ① 特征方程的各个系数ai均不为零； ② 各个系数ai的符号均相同。习惯上取an为正值。 　 an 0， an-1 0， an-2 0， ……， a0 0 Notes： 　　ai 0 是系统稳定的必要条件，但不是充分条件。 例：系统的特征方程为：D(s)= s4+ s3+ 11s+ 30，判断系统稳定性。 解：因s2的系数为零，不满足稳定的必要条件，系统不稳定。 二、系统稳定的充要条件 　　将系统的特征方程的系数分成奇、偶两组，排成两行，作为劳斯表的表头。 …... Routh判据：第一列各元素an,an-1,b1,c1,…符号改变次数等于具有正实部　　　　　 的特征根数目。若第一列各元素符号不同，则系统不稳定。 系统的特征方程为：D(s)= s4 + s3 - 19s2 + 11s+ 30，判断稳定性。 例： 第一列中，从1到-30，符号改变一次，从-30到12，符号改变一次，所以系统不稳定，有两个具有正实部的特征根。 直接求解si = -1、2、3、-5 三、2、3、4阶系统的Routh稳定判据 ① 二阶系统稳定的充要条件： a2 0， a1 0， a0 0 ② 三阶系统稳定的充要条件： 　　 a3 0， a2 0， a1 0， a0 0 ， a1 a2 - a0 a3 0 ③ 四阶系统稳定的充要条件： 　　 a4 0， a3 0 ，a2 a3 – a1 a4 0 ， a1 a2 a3 - a12 a4 - a02 a3 0 例：系统的特征方程为：D(s) = s3+ (λ+1) s2+(λ +μ -1) s +μ -1，试确定 待定系数λ 、μ ，以便使系统稳定。 解： Routh 计算表 系统稳定的充要条件： ① λ+1 0， 即λ-1 ② λ(λ+μ) 0，即λ0， λ-μ ③ μ-10，即μ1 所以使系统稳定: λ 0， μ1 μ λ 0 λ 0 μ1 [A] 四、劳斯表计算中的两种特殊情况： (1) 某行中第一个元素为零，其他元素均不为零或不全为零，可用一个很小的正数(ε)代替第一元素。 例：系统的特征方程为：D(s) = s3 - 3s + 2，列劳斯计算表。 得到劳斯表： 第一列中，符号改变两次，所以系统不稳定，有两个具有正实部的特征根。 (2) 某行中所有元素为零，可用该行的上一行元素构建辅助多项式，对其求导，将各阶导数的系数代替劳斯表中全为零的行。 四、劳斯表计算中的两种特殊情况： 由s3的上一行构建辅助多项式：F(s)= b1s4+ b2s2+b3s0 = s4 - 3s2 - 4 对该式求导得， 4s3 - 6s，将此系数代替s3行中各元素，继续运算。 …... 第一列中，符号改变一次，所以系统不稳定，有一个具有正实部的特征根。 原方程的6个根中，一个(+2)位于[s]平面右半平面； 　　　　　　　　 两个(±j )在虚轴上，系统不稳定。 验证系统特征根的分布： 解辅助方程，令 　F(s) = s4 – 3s2 – 4=0 (s2 – 4)(s2 + 1) =0 s1,2 = ±2， s3,4 = ±j 再令 例1： 解：(1)当ν =0时，闭环传函的分母为： D(s)= (s+1)3+K=s3+3s2+3s+K+1 (2)当ν =1时，闭环传函的分母为：　D(s)= s(s+1)3+K=s4+3s3+3s2+s+K 单位负反馈系统的开环传递函数 讨论当ν取不同值时，系统稳定对K值的要求。 系统稳定，则要求 0K 8 系统稳定，则要求 0K 8/9