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2009线性代数
**大学２００９——２０１０年度第一学期末试题Ａ卷
考试科目：线性代数
一、填空题
１、设Ａ2i (i＝１，２，３，４)是行列式Ｄ＝中元素ａｉ２（ｉ＝１，２，３，４）的代数余子式，则 ２Ａ21＋３Ａ22+3A23 +６Ａ２４＝
２、已知线性方程组仅有零解，则
３、已知矩阵，且Ａ的三个特征值的积是－４，则ａ＝
４、设Ａ是３阶对称矩阵，为Ａ的特征值，且１＝（２，１，１），2=（x,1,-1）分别为相应的特征向量，则x =
5、实二次型f（x1,x2,x3）-2)++2+2正定时，应满足的条件是
二、选择题
1、设3阶方阵=-2; 为A的伴随矩阵，则=（ ）
（A）1 (B) 4 (C) -1 (D) -4
2、设A=且ad-bc=-1 ,则=（ ）
(A) (B) (C) (D)
3、设S是n元齐次线性组AX=0的解空间，其中r(A)=r , 则S 的维数为（ ）
（A）r (B) n-r (C) r-n (D) n
4、设向量组有两个极大无关组（I），（II）,则必有（ ）成立。
（Ａ）ｒ＞ｓ （Ｂ）ｒ＝ｓ （Ｃ）ｒ＜ｓ （Ｄ）ｒ＋ｓ＝ｍ
５、可逆矩阵Ａ与矩阵（ ）有相同的特征值。
（Ａ） （ B ） （C） （D）A+I
三、计算题I
1、计算四阶行列式D=。
2、已知P= ，= ，并且AP=P,求
3、设为向量空间到的线性变换，其定义为对任X=，有
（x）=,求关于基 的矩阵A.
四、计算题II
1、设有向量S ={,,,},其中=（2，-1 , 3，5），=（4，-3 , 1 ，3），
=（3，-2 ，3, 4），=（4，-1，15 , 1 ,7）
（1）求S的秩
（2）求S的一个最大无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表出。
2、已知线性方程组
求其通解（写出解得结构）
3、设实二次型f()=+2+-2
（1）写出二次型f的矩阵A ; (2)求A的特征值； （3）求A的特征值对应的特征向量；
（4）求正交变换X=PY，将实二次型f 化为标准型，并写出对应的标准形。
五、证明题
1.设为向量空间R到R变换，其定义为对任意x= R,
有（x）=,是否为线性变换？并对你的判定给予证明。
2、证明任一n阶方阵A都可以表示为一对对称与一反对称之和。
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