高等代数行列式推荐.pptVIP

3.1 线性方程组和行列式 3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 3.1.2 行列式在线性方程组中的应用 3.2 排列 3.2.1 排列、反序与对换 3.2.2 奇、偶排列的定义及性质 3.3 n阶行列式 3.3.1 n阶行列式的定义 转置 3.3.2 行列式的性质 3.4.1．余子式与代数余子式 3.4.2行列式的依行依列展开 3.5 克拉默法则 3.5.1.齐次与非齐次线性方程组的概念 3.5.2．克莱姆法则 3.5.3．齐次线性方程组解的定理 4.1 消元法 4.1.3用消元法解线性方程组 式刚好是 子式D 的转置行列式，因而不等于零： 由于 也是矩阵B的子式，所以矩阵B和 的秩都至少是r，另一方面，矩阵 的任一个r +1阶子式 都是 的某一个r +1阶子式的转置行列式。由于 的秩是r，所以 的所有r +1阶子式都等于零，由此得 必然等于零。但 没有阶数高于r +1的子式，所以B和 的秩都是r，而方程组（4）有解。这样我们就证明了，方程组（1）的后m -r个方程都是（1）的前r个方程的结果，而解方程组（1）归结为解方程组（3）。 假定方程组（1）满足定理4.3.1的条件，于是由定理4.3.1，解方程组（1），只需解方程组（3）。我们分别看 的情形。 方程组（1）的公式解： 若是 ，那么(3)就是方程个数等于未知量个数的一个线性方程组，并且它的系数行列式 ,所以(3)有唯一解，这个解可由克拉默规则给出，这个解也是方程组(1)的唯一解。 现在设 ,这时方程组(3)的前r个未知量的系数所构成的行列式 ，在方程组（3）中把含未知量 的项移到右边， 方程组（3）可以写成： (3’) 暂时假定 是数，那么（3’）变成r 个未知量 的r 个方程。用克拉默规则解出 得 (5) 这里 把（5）中的行列式展开，（5）可以写成 (6) 这里 都是可以由方程组（1）的系数和常数项表示的数。现仍旧把（6）中 看成未知量，那么（6）是一个线性方程组，从以上的讨论容易看出，方程组（6）与方程组（3’）同解，因而和方程组（1）同解。正如用消元法解线性方程组的情形一样，方程组（6）给出方程组（1）的一般解，而 是自由未知量，要求方程组（1）的一个解，只需给予自由未知量 任意一组数值，然后由（6）算出未知量 的对应值，并且（1）的所有解都可以这样得到。 由于（6）的系数和常数项都可以由方程组（1）的 系数和常数项表出，所以（6）或它的前身（5）都 给出求方程组（1）的解的公式。 例2 已知线性方程组 的系数矩阵和增广矩阵的秩都是2，并且行列式 (7) 求解这个方程组的公式，并求出一个解。 由定理4.3.1，解方程组（7）只需解前两个方程，把 作为自由未知量，移到右边，得 用克拉默规则解出 得 即： 令 ，我们就得到方程组的一个解： 用公式来求数字线性方程组的解是比较麻烦的，因为需要计算许多行列式。因此在实际求线性方程组的解的时候，一般总是用消元法。但是在数学问题中遇到线性方程组时，常常不需要真正求出它们的解，而是需要对它们进行讨论，在这种情况下，我们有时要用到（5）式或（6）式。 4.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念 定义 若是一个线性方程组的常数项都等于零，那么 这个方程组叫做一个齐次线性方程组. 我们来看一个齐次线性方程组 (8) 这个方程组永远有解：显然 就是方程组（8）的一个解，这个解叫做零解。如果方程组（8）还有其它解，那么这些解就叫作非零解。 齐次线性方程组永远有解. 4.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件 定理4.3.2 一个齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的个数n。 证 当 时，方程组只有唯一解，它只能是零解。 当 时，方程组有无穷多解，因而它除零解 外，必然还有非零解。 推论4.3.3 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：方程组的系数行列式等于零。 因为在这一种情况，方程组系数行列式等于零就是说，方程组的系数矩阵的秩小于n. 推论4.3.4 若在一个齐次线性方程组中，方程的个数m小于未知量的个数n，那么这个方程组一定有解。 因为在这一情况，方程组的系数矩阵的秩r不能超过m，因而一定小于n . 1.内容分布