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第6章 向量空间 §6.1　向量空间的定义和例子 1. 引例―――定义产生的背景 2. 向量空间的定义－抽象出的数学本质 3. 进一步的例子――加深定义的理解 4.　简单性质 6.2 子空间 6.2.1 子空间的概念 定理6.2.1 例1 例4 定理6.2.2 6.2.2子空间的交与和 6.3向量的线性相关 6.3.1 线性组合与线性表示 6.3.2 线性相关与线性无关 例1 命题6.3.1 命题6.3.4 6.3.3 向量组等价 定理6.3.6 (替换定理） 6.3.4 向量组的极大线性无关组 例5 6.4 基和维数 6.4.1 子空间的生成元 例1 例2 定理6.4.1 6.4.2 向量空间的基 例3 定义２ 定理６.４.２ 定理６.４.４ 6.4.3 维数定理 定理 6.4.7 6.5 坐 标 6.5.1 坐标的概念及其意义 例1 6.5.2 过渡矩阵 例4 6.5.3 坐标变换公式 例5　 6.6向量空间的同构 6.6.1 同构映射 6.6.3 向量空间的同构 6．7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 6.7.1 矩阵的行空间与列空间 6.7.2线性方程组的解的结构 ，所以它们生成 的同一子空间。 4. 一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数，等于这个矩阵的秩． 给定 ，秩A = r ，不妨设 ，则存在 ，使得 由于这一事实，我们也把一个矩阵的秩定义为它的行向量组的极大无关组所含向量的个数；也定义为它的列向量组极大无关组所含向里的个数。 数域F上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。 1．齐次线性方程组的解空间 给定数域 F上一个齐次线性方程组 （1） 令 ，易知它是 的一个子空间，这个子空间称为齐次线性方程组（1）的解空间。 2．若秩A = r ，则解空间 的维数为 n – r . 通过行初等变换（必要时交换列），可以将系数矩阵A化为以下形式的一个矩阵： （2） 与矩阵（2）相对应的齐次线性方程组是 （3） 是（3）的解空间的一个基，重新排列每一解向量 中坐标的次序，就得到齐次线性方程组（1）的解空间的一个基。 3．齐次线性方程组的基础解系 一个齐次线性方程组的解空间的一个基叫做这个方程组的一个基础解系。 例 1 求齐次线性方程组 的一个基础解系。 对行施行初等变换化简系数矩阵,得 与这个矩阵相对应的齐次方程组是 取 作为自由未知量,依次令 和 得出方程的两个解 它们作成所给的方程组的一个基础解系.方程组的任意一个解都有形式 这里 是所给数域中任意数,方程组的解空间由一切形如 的解向量组成. 4．给定数域 F上一个线性方程组 （4） 齐次线性方程组AX = 0 称为线性方程组AX = B的导出齐次方程组。 如果线性方程组（4）有解，则（4）的任意两个解的差是它的导出齐次方程组的一个解。 看F3的向量组 在这里 线性无关，而 ,所以 是一个极大无关组。另一方面，容易看出， ， 也是向量组 的极大无关组。 推论6.3.8 等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量.特别，一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量。 一、内容分布 6.4.1 子空间的生成元 6.4.2向量空间的基与维数 6.4.3 维数定理 6.4.4余子空间与子空间的直和 二、教学目的 1．掌握有限维向量空间基与维数的概念及其求法． 2．理解基在向量空间理论中所起的作用． 三、重点、难点 基和维数的概念及求法、维数定理． 设V是数域F上的一个向量空间. 考虑 的一切线性组合所成的集合。这个集合显然不空，因为零向量属于这个集合.其次,设 那么对于任意 仍是 的一个线性组合,因此, 的一切线性组合作成V的一个子间. 这子空间叫做由 所生成的子空间,并且用符号