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考研数学导学班辅导讲义 线性代数部分—矩阵理论 一、矩阵基本概念 1、矩阵的定义—形如，称为矩阵，记为。 特殊矩阵有 （1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。 （2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。 （3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。 （4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。 2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。 我想，每一次都推荐一下对大家都非常有用的信息，只推荐三个有用的，其他的我觉得都没什么意思，每一次推荐都不容易，希望大家珍惜。大家有选择性的看，都是个人觉得非常好的。一切都做了，离成功就近了，好运与机遇就会降临。请大家多关注，我常常会推荐一些很好用的东西给大家。1、推荐快速学习一下思维导图法与快速阅读法，对理解与记忆的帮助十分之大，里面有针对考研版本，对于时间不够用，效率低的同学特别适用，本人切身体验，没用不会推荐希望对大家也有帮助！建议练上30小时足矣。已经给大家找好了下载的地址，先按住键盘最左下角的“Ctrl”按键，请直接点击这里下载。）2、大家网考试论坛，是国内最知名的考研和考公务员论坛。3、鲤鱼资料下载网，各种资料都有下载。 3、矩阵运算 （1）矩阵加、减法： ，则 。 （2）数与矩阵之积： 。 （3）矩阵与矩阵之积： 设，则 ， 其中（） 【注解】 （1）不一定有或。 （2）矩阵乘法没有交换律。 （3）含方阵的矩阵多项式可象普通多项式一样因式分解的充分必要条件是。 （4）设，则定义，且关于矩阵的矩阵多项式可因式分解。 二、方程组的矩阵形式及解的概况 方程组的基本形式为 （1） 称（1）为齐次线性方程组。 （2） 称（2）为非齐线性方程组。 令 ，，，则（1）、（2）可分别表示为矩阵形式： （1） 及 （2） 对方程组（1）： 【例题1】讨论方程组解的情况，并分析原因。 【例题2】讨论方程组解的情况，并分析原因。 对方程组（2）： 【例题1】讨论方程组解的情况，并分析原因。 【例题2】讨论方程组解的情况，并分析原因。 【例题3】讨论方程组解的情况，并分析原因。 三、矩阵问题的产生 初一数学问题：解一元一次方程 情形一：当时，两边同时乘以得，于是； 情形二：当时，方程无解； 情形三：当时，方程有无数个解。 线性方程组的类似问题：讨论方程组的解 情形一：是阶方阵，且存在，使得 由两边左乘得，于是； 情形二：虽然是阶矩阵，但不存在，使得 方程组是否有解及解的情况； 情形三：是矩阵，且 方程组是否有解及解的情况。 【注解】 （1）第一种解的情况产生矩阵的第一个核心问题—矩阵的逆阵。 （2）第二、三两种情形产生矩阵的另一个核心问题—矩阵的秩。 四、矩阵两大核心为题 （一）逆阵 1、定义—设为阶矩阵，若存在阶矩阵，使得，则称为可逆矩阵，称为的逆矩阵，记为。 2、两个问题 【问题1】 给定一个阶矩阵，是否存在可逆矩阵（事实上不存在可逆矩阵的矩阵大量存在）？ 【问题2】 若阶矩阵可逆（即逆矩阵存在），如何求其逆矩阵？ 3、矩阵可逆充分必要条件 定理设为阶矩阵，则可逆的充分必要条件是。 4、求矩阵逆阵的方法 方法一：伴随矩阵法（略） 方法二：初等变换法 第一步 方程组的三种同解变形 （1）对调两个方程的位置方程组的解不变； （2）某个方程两边同乘以一个非零常数方程组的解不变； （3）某个方程的倍数加到另一个方程方程组的解不变。 第二步 矩阵的三种初等行变换 （1）对调矩阵的两行； （2）矩阵的某行同乘以一个非零常数； （3）矩阵某行的倍数加到另一行。 第三步 三种初等矩阵 （1）—单位矩阵的行与行对调或者列与列对调所得的矩阵。 性质：1）； 2）或者； 3）为将的行与行对调所得的矩阵，为将的列与列对调所得的矩阵。 （2）—单位矩阵的行乘以或单位矩阵的列乘以。 性质：1）； 2）； 3）为将的行乘以非零常数所得到的矩阵，为将的列乘以非零常数所得到的矩阵。 （3）—单位矩阵的行的倍加到行或者单位矩阵的列的倍加到列所得到的矩阵。 性质： 1）； 2）； 3）为将的行的倍加到行所得到的矩阵，为将的列的倍加到列所得到的矩阵。 第四步 三个问题 【问题1】设为阶可逆矩阵，能够经过有限次初等行变换化为单位矩阵？ 【问题2】 设为阶不可逆矩阵，能够经过有限次初等行变换化为？ 【问题3】 设为阶不可逆矩阵，能够经过有限次初等变换化为？ 第五步 初等变换法求逆阵及两个相关的定理 定理（初等变换法求逆阵）设为