函数基本性质知识点梳理.docVIP

函数基本性质知识点梳理 一、函数的奇偶性 1、函数的奇偶性反映的是函数的整体性质，由函数的奇偶性定义可知：若一个函数具有奇偶性，则对于定义域内任意一个自变量x，-x也一定在定义域内。这说明，一个函数具有奇偶性的必要条件（或者说是前提）是此函数的定义域关于原点对称。因此，若要判断一个函数是否具有奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，若不是，则该函数一定不具有奇偶性（或者说该函数既非奇函数又非偶函数）。 2、若函数是奇函数，且0在定义域内，则必有。 3、一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于原点中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于y轴轴对称。 4、设，的定义域分别为和，且，则在其公共定义域上有：奇（偶） 奇（偶）= 奇（偶）；奇（偶）× 奇（偶）= 偶，奇 × 偶 = 奇. 5、复合函数的奇偶性 若函数与满足复合条件，则复合函数的奇偶性 当内函数为偶函数时，复合函数即为偶函数；当内函数为奇函数时，复合函数与外函数有相同奇偶性。 6、函数图像的奇偶性是一种较为特殊的对称性，更为一般的对称性结论如下：若对定义域内任意一个自变量，都有成立，则函数的图像关于直线轴对称；若对定义域内任意一个自变量，都有成立，则函数的图像关于点中心对称. 二、函数的单调性 1、函数的单调性是针对某个区间而言的，它反映的是函数的局部性质。有些函数在整个定义域上不具有单调性，但在定义域的某些区间上却存在单调性。 如函数，在整个定义域上不具有单调性，但在定义域的子区间和上均有单调性。 因此书写单调区间过程中，一定要注意一些在整个定义域上不具有单调性的函数，它们可能多个不同的单调区间，应该将他们分开书写，用逗号或“和”连接，同时指明是单调增区间还是单调减区间，一定不能将具有相同单调性的区间写成并集的形式！ 注意：单调区间是多个区间的并集的情况时存在的，如函数就是一个在定义域上均单调递增的函数。 2、由于函数在其定义域内某一确定的点处函数值是唯一确定的，因此，我们一般不讨论函数在某点处的单调性。书写单调区间时，区间的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；但若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。 3、函数单调性的等价形式：若函数对于，且，都有 或， 则在区间上单调递增（减）。 注意：可视作在区间上的函数图像上的两点与间连线的斜率，从而函数的单调性又可以用如下方式判断： 若在区间上的函数图像上，任意两点间连线的斜率均大（小）于0，则该函数是区间上的单调增（减）函数。 4、在公共区间上，增（减）函数 ＋ 增（减）函数 = 增（减）函数；增（减）函数 － 减（增）函数 = 增（减）函数；恒正增（减）函数 × 恒正增（减）函数 = 增（减）函数；恒负增（减）函数 × 恒负增（减）函数 = 减（增）函数。 5、奇（偶）函数在对称区间上具有相同（相反）的单调性。 6、若函数是区间上的增（减）函数，则它在的任意一个子区间上也是增（减）函数。 问题：是否存在定义在一个连续区间（如）上的函数，满足在的任意一个子区间上均不单调？ 7、复合函数单调性： 若函数为区间上的单调函数，为区间上的单调函数，且对，有，则复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则，即当内外层函数具有相同单调性时为增函数，反之，则为减函数。 注意：在利用“同增异减”原则求复合函数单调区间前，必须先求复合函数的定义域，单调区间一定是定义域的子区间，这点务必加以重视！ 三、函数的最值性 定理1：闭区间上连续函数必有最大、最小值。 定理2：闭区间上单调函数必在区间端点出取得最大、最小值。 就现阶段学习内容而言，首先，四类基本函数的单调性、值域及图像特征是我们解决其他复杂函数的值域相关问题的基本出发点，请务必熟练掌握；其次，利用函数图像变换（平移与翻折）的观点，我们可以有效地将一些复杂函数转化为上述四类基本函数类型来进行研究，把握住函数图像变换前后的内在联系是解决此类问题，实现问题的转化的关键。 1、一次函数型： 2、反比例函数型： 函数的图像是双曲线：原函数可化为，为反比例函数平移后的形式，其中比例系数为①两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)；②对称中心是点；当，即时，函数在与上均单调递减，值域为；当，即时，函数在与上均单调递增，值域为. 3、二次函数型： 4、型：耐克函数型；伪耐克函数型 （1）当时，函数的定义域为，值域为；若，单调增区间为和，单调减区间为和；若，单调增区间为和，单调减区间为和.（2）当时，函数的定义域为，值域为；若，单调增区间为和；若，单调减区间为和. 单个闭区间上求值域