第六章广义积分及定积分应用.docVIP

第六章 广义积分与定积分的应用 Ⅰ、广义积分 内容提要 广义积分的收敛定义 无穷积分（积分限为无穷的广义积分） 定义 设对任意 ，函数 在 上可积，如果极限 存在，则称此极限值为在上的无穷积分，记 此时称无穷积分收敛，否则称无穷积分发散。 同样可定义无穷积分： 瑕积分（无界函数的广义积分） 定义 对任意，函数在区间上可积，且在 上无界 （b为瑕点）。如果极限 存在。则称此极限值为在上的瑕积分，记作 此时称瑕积分收敛，否则称瑕积分发散。 同样可以定义瑕积分： （c为区间内唯一瑕点， 时 ，） 绝对收敛与条件收敛 绝对收敛：若广义积分（或）收敛，则称在（或）上绝对收敛（绝对收敛的广义积分，则本身的广义积分收敛）。 条件收敛：若（或）收敛，但（或）发散，则称在（或）上条件收敛。 收敛判别法 比较判别法（对被积函数不变号的广义积分或绝对收敛的广义积分有效） 无穷积分； ①设当 时，为非负函数，且 ，则 1） 收敛收敛； 2） 发散发散； ②比较判别法的常用形式； 1)若 2)若 ③极限形式：若在上连续，且 ，那么 1）当 时，则 收敛； 2）当时，则发散。 （2）瑕积分（为b唯一瑕点） ① 若，则收敛； 若，则发散。 ② 极限形式（唯一瑕点b）若在 上连续， 且 那么 1）当时 ，则收敛； 2）当时 ，则发散。 另外，对瑕点或有类似的结论。 其他形式的判别法（下面两个判别法常用于判定条件收敛） 阿贝尔判别法：若在上可积，单调有界， 则收敛。 （2）狄里克莱判别法：若有有界的原函数（即存在，使得），单调且当时趋于零，则收敛。 对瑕积分也有相应的两个定理。 典型例题 广义积分的收敛性 通常利用定义或用判别法来判别广义积分的收敛性。 判别如下积分的收敛性 （1） （2） 解 用定义。 （1） 而 同样可得 所以 即无穷积分收敛。 （2）为瑕点。 故瑕积分收敛。 例2判别下面积分的收敛性 （为常数） 解 用比较判别法（别积函数在 连续，且为正） 因为当 时， 若，则 ，由比较判别法知原积分发散 若，则 原积分也发散。 若 ，而 。又当时，有 因为 故由比较判别法知无穷积分收敛。又为常义积分（函数可积），从而积分存在。因此，原积分收敛。 例3、讨论的敛散性（为常数） 解 可能是被积函数的瑕点，于是 对右端第二个积分，设 由于 故当 时积分收敛； 当 时积分发散。 对右端第一个积分，设 由于 故当时，积分收敛； 当时积分发散。 综上所述，当，且时，积分收敛，其余情况皆发散。 证明条件收敛 证明 先在证积分收敛，对任意 ，因为 ，且当时， 单调趋于零，由狄里克莱判别法知积分 收敛 下面证明积分不绝对收敛。因为 而 ，故 发散。又积分 收敛（证明同）。于是发散。因此，积分 发散。所以原积分条件收敛。 广义积分的计算 计算（1）(2) 解（1） （2） 于是 计算 解 因为（x=0为瑕点） 而 所以 原式 例7 求 （n为正整数） 解 先证积分收敛。x=1为瑕点。因为 所以积分收敛 令 ，于是 证明 证明 先证它们收敛 因为，故收敛；同样 所以积分也收敛 下面求积分的值。令 ，则有 。相加得 于是 即 Ⅱ. 定积分的应用 内容提要 几何应用 平面图形的面积 直角坐标系下计算面积： 由连续曲线与直线围成图形的面积 由连续曲线与直线围成图形的面积 在极坐标下计算面积 由连续曲线与两条半射线围成图形的面积 （） 旋转体的体积 设为上单值连续函数。由曲线（或）与直线及x轴围成的平面区域绕x轴旋转所得旋转体的体积为 （或） 设为上单值连续函数。由曲线绕y轴旋转所得旋转体的体积为 旋转面的侧面积 光滑曲线绕x轴旋转所得旋转面的侧面积 若光滑曲线由参数方程给出 它绕x轴旋转所得旋转面的侧面积 曲线的弧长公式 1）设光滑曲线的方程为，其弧长为 典型例题 例10 抛物线将椭圆分成两部分，设小的部分面积为，大的面积为，求的值。 解 画草图（图1—2—2）抛物与椭圆的交点为（0，0）与（2，1）。 由椭圆方程解出y(或x): 于是 例11 求（1）由曲线所围图形的面积 （2）由曲线所围图形的面积 解 （1）由于曲线关于x轴，y轴都对称，故所求面积为第一象限面积的4倍（见图1—2—3）。用参数方程的形式计算较方便。令 其中对应于第一象限的部分。故所求面积为 （2）曲