二次函数辅导资料.docVIP

第讲 二次函数 一、知识梳理 （一）、二次函数的定义 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数。 说明： (1)函数关系式必须是整式，任何一个二次函数都可以化成的形式，因此，把叫做二次函数的一般形式。 (2)化简后二次函数中自变量的最高次数必须是2，因此二次项的系数a（特别是用字母表示时）必须不为0. (3)一般情况下，二次函数中自变量的取值范围为全体实数，但在实际问题中，自变量x有特殊的取值范围. （4）二次函数常见解析式： I 一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0)；（一般式通过配方可得顶点式） II 顶点式：y=a(x－h)2＋k (a≠0)； III交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标． （5）二次函数的图像是一条抛物线 （6）几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 （轴） （0,0） （轴） (0, ) (,0) (,) () （二）、二次函数的图像与性质 1、系数a，b，c及Δ的几何意义 的符号决定抛物线的开口方向、大小、形状、最大值或最小值 开口向上有最小值(最低点的纵坐标) 开口向下最大值(最高点的纵坐标) 越大，开口越小 越小，开口越大（描点法可以证明） 决定抛物线对称轴 对称轴是轴 同号对称轴在轴的左侧 异号对称轴在轴的右侧 的符号决定抛物线与轴交点的位置。 抛物线过原点 抛物线与轴交于正半轴 抛物线与轴交于负半轴 Δ的符号决定抛物线与轴的交点个数 抛物线与轴有两个交点 抛物线与轴只有一个交点 抛物线与轴没有交点 抛物线的特殊位置与系数的关系. 顶点在x轴上 △＝0 顶点在y轴上 b＝0 顶点在原点 b＝c＝0 抛物线经过原点 c＝0 2、二次函数的对称轴与顶点坐标以及单调性（增减性）与最值 一般式：，其对称轴为直线，顶点坐标为 .当时，有最小值，且当时，； 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。 .当时，有最大值，且当时，； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 顶点式：，其对称轴为直线，顶点坐标为 .当时，有最小值，且当时，； 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大。 .当时，有最大值，且当时，； 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 （三）、二次函数解析式的确定 I待定系数法 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：. II数形结合法 （四）、抛物线的平移 基本口诀：上加下减，左加右减。具体操作如下（其中，） (1)一般式的平移 将抛物线向上平移个单位，得 将抛物线轴向下平移个单位，得 将抛物线向左平移个单位，得 将抛物线向右平移个单位，得 (2)顶点式的平移 将抛物线向上平移个单位，得 将抛物线轴向下平移个单位，得 将抛物线向左平移个单位，得 将抛物线向右平移个单位，得 二、例题与解题思路方法归纳 【例题1】m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？ 〖解题思路〗若函数是二次函数，须满足的条件是：． 〖参考答案〗解：若函数是二次函数，则 ． 解得 ，且． 因此，当，且时，函数是二次函数． 回顾与反思 形如的函数只有在的条件下才是二次函数． 探索 若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？ 【例题2】写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系； （3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系； （4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系． 〖参考答案〗 解：（1）由题意，得 ，其中S是a的二次函数； （2）由题意，得 ，其中y是x的二次函数； （3）由题意，得 （x≥0且是正整数）， 其中y是x的一次函数； （4）由题意，得 ，其中S是x的二次函数． 【例题3】正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积． 〖参考答案〗 解 （1）； （2）当x=3cm