基本初等函数讲义.docVIP

基本初等函数讲义 一，目的要求： （1）掌握指数函数，对数函数，幂函数的一般形式，会判断上述三种函数； （2）明确三种函数的图像及其性质，掌握利用函数的增减性来判断数的大小； （3）综合运用，注意知识的相互渗透或综合. 与其它函数(特别是二次函数)形成的 函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等； 二，知识要点： （一）指数函数的概念 定义：一般地，函数叫做指数函数(exponential function)，其中x是自变量，函数的定义域是R。 指数函数的性质 图象特征 ＞1 0＜＜1 向轴正负方向无限延伸:函数的定义域为R 图象关于原点或轴不对称：非奇非偶函数 函数图象都在轴上方：函数的值域为 函数图象都过定点（0，1）：因为=1 自左向右，图象逐渐上升：增函数 自左向右，图象逐渐下降：减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1： ＞0，＞1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1： ＞0，＜1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1： ＜0，＜1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1： ＜0，＞1 （三）对数函数的概念 一般地，当a0且a≠1时，函数y=㏒ax.叫做对数函数. 这里大家要明确，对数函数与指数函数互为反函数，所以，对数函数的解析式可以由指数函数求反函数得到，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域.即对数函数的定义域是（0，+∞），值域是R. （四）对数函数的性质 图 象 性 质 （1）定义域： （2）值域： （3）过点，即当时， （4）在（0，+∞）上是增函数 （4）在上是减函数 （五）幂函数的概念 一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数 。 （六）幂函数的性质 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 R 偶函数 （0，0）（1，1） R R 奇函数 增函数 （0，0）（1，1） 奇函数 （1，1） 非奇非偶 增函数 （0，0）（1，1） 时幂函数图象的基本特征：过点，且在第一象限随的增大而下降，函数在区间上是单调减函数，且向右无限接近X轴，向上无限接近Y轴。当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。 三，例题分析： 例1，比较下列各题中的两个值的大小 （ 1）1.72.5 与 1.73 ( 2 )与 ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 解：(1) 1.72.5 与 1.73可以看作是函数的两个函数值。 由于底数1.71，所以指数函数在R上为增函数， 因为2.53，所以1.72.51.73 (2) 0.8-0.1 与 0.8-0.2可以看作是函数的两个函数值。 由于底数0.81，所以指数函数在R上是减函数， 因为-0.1-0.2，所以0.8-0.1 0.8-0.2 (3)由于1.70.3 与 0.93.1不能看作同一个指数函数的两个函数值，我们首先在这两个数值中间找一个数值，将这一个数值与原来的两个数值分别比较大小，然后确定原来两个数值的大小关系。由指数函数的性质可知 1.70.31.70=1 0.93.10.90=1 所以1.70.3 0.93.1 例2，求函数 定义域、值域、单调区间． 解：定义域为 （x＞3或x＜2），由二次函数的图象可知（图象略） 0＜u＜+∞，故原函数的值域为（-∞，+∞）． 原函数的单调性与u的单调性一致．∴原函数的单调增区间为（3，+∞），单调减区间为（－∞，2）． 例3，若函数 （1）若函数的定义域为R，求a的取值范围． （2）若函数的值域为R，求a的取值范围． （3）若函数在上是增函数，求a的取值范围． 解：（1）定义域为R，是指不等式的解集为R，即 （2）值域为R，是指能取遍（0，+∞）中的所有的值．∴只需 即或 （3）在上为减函数且大于0，由图象可知： 教师点评：对数函数的定义域为R，即指不等式的解集为R．值域为R指对数函数的真数 能取遍所有的正数，不要认为判别式大于或等于0，那么在x轴下面的部分是负 数似乎不合题意，实质上定义域会排掉x轴下面的负的函数值．要画个图仔细 研究．在（3）中特别要注意在区间上函数大于0． 例4，如图所示，曲线C1、C2、C3、C4为幂函数在第一象限内的图象，已知 取四个值，则相应于曲线C1、C2、C3、C4的 解析式中的指数依次可取（ ） C1 C2 C3 C4