量子力学 第四章例题.docVIP

第四章　　例题1 ．力学量的矩阵表示 试分别： 1 ） . 求 和 在态 下的期望值； 2 ） . 给出 和 的物理意义 【解】（ 1 ） . 设态矢 已归一化 ???? ? ??? （粒子位置几率密度） （ 2 ） ?? （利用 ?? 化到坐标表象） 又： ,? 上式 ???????? 2. 试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 （ 1 ） . 是厄密算符，（ 2 ） . 有 ，（ 3 ） . 的本征值为 0 和 1 【证】（ 1 ） . 厄密算符的定义 ? ? ? ? ? 为厄密算符 (2)? ?? 已归一化 ?? （ 3 ） . 由 的本征值方程 ,? 又： 即： ? ?? ?? ?? （本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符号的应用） 3. 分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度 ）基态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示） 【解】 ? 所描述的状态，基态波函数 （ 1 ） . 在 x 表象： （ 2 ） . 动量表象： ?????????????????????????????????????????? ????????????? ?????????? ? （ 3 ） . 能量表象 ????????????? ????? ???? 同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述的 . 4. 取 和 的共同表象，在 角动量空间中写出 , , 的矩阵（本题主要考查算符矩阵的求法 ? ） 【解】 ?? , 的共同本征函数为 ??? ??? ??????????????????? ??? ?? 在 ? 空间 ??????? ????? ???? （ 1 ） . ??? ,? ?????? ? ? ? 同样 ? ?? （ 2 ） ??????? 利用 :? 利用正交归一条件 :? ????????????? 同样 （ 3 ） ? 利用 : ??? ?? 矩阵 :? 矩阵 :??? 5. 已知体系的哈密顿量 ?, 试求出 （ 1 ） . 体系能量本征值及相应的在 所在的表象的正交归一化的本征矢组 . （ 2 ） . 将 对角化，并给出对角化的么正变换矩阵 【解】 （ 1 ） . 久期方程 ?? 解之 ?? ?? ,? 设正交归一的本征矢 ??? ? 对应于 ??????? ???????????????????? ????????????????????? ???????? 本征矢 ? ???????????? 归一化 ?? 对应归一本征矢 ???? 同样 ? :?? ???????????? ???? ????? :?????????????? 即为 的本征函数集 （ 2 ） . 对角化后，对角元素即为能量本 转换矩阵为 6 ． ? 证明：将算符矩阵 对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函数矢量。 【证】 ?? 算符的本征矢： ?????? 则 F 算符在自身表象中为一对角矩阵： 对另一表象力学量的本征矢 ?? ??????? ??? ? 的本征矢 7. 为厄密算符。 ??? ?? ① 求算符 的本征值， ?????????? 在 A 表象下求算符 的矩阵表示。 [ 解 ] ： ? ?? ? 设 的本征值为 , 本征函数为 , ???????????? 则 ?? ??????? ???????????? 又 ?? ?????????? ????????? ??? ??????????? ? 同理算符 的本征值也为 . ② ??????????? 在 A 表象，算符 的矩阵为一对角矩阵 , 对角元素为本征值，即 ??????????? ??????? 设 利用 ??? ? ? ???? ? ??? ? ??B 为厄密算符 即 ????? ???? ??? ??????? 又 ?????? ??????? ????????? ? ??? 取： ? ????? ?? 8 ． 在 表象的 子空间中，求 的矩阵形式，并求出 本征值、本征态。 解：由 有 在 表象 子空间中， 由 , 有 之本征值为 , 由 之本征方程 解出 ， ， ，