747-27.2 用推理方法研究线段的垂直平分线.docVIP

27．2 用推理方法研究线段的垂直平分线 班级_______ 姓名________ 检测时间 45分钟 总分 100分 分数_____ 新课标基础训练（每小题5分，共15分） 1．如图1所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE=2，则BE两点间的距离是（ ）毛 A．4 B．2 C． D． （1） (2) (3) 2．如图2所示，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 3．如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N，求证：CM=2BM． 新课标能力训练（满分44分） 4．（学科内综合）（12分）如图所示，已知OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BC，M是CD中点，求证：（1）OM平分∠AOB；（2）OM是CD的垂直平分线． 5．（学科间综合）（12分）如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC=BD．若A到河岸CD的中点O的距离为500米． （1）牧童从A处把牛牵到河岸饮水后再回家，试问在何处饮水所走的路程最短？ （2）最短的路程是多少？ 6．（应用题）（10分）如图所示，EFGH是一矩形的弹子球台面，有黑、白两球分别位于A、B两点的位置上，试问：怎样撞击白球，使白球先撞击边EF反弹后再击中黑球？ 7．（创新情景题）（10分）如图所示，一牧人带马群从A点出发，到草地MN放牧，在傍晚回到帐蓬B之前，先带马群到河PQ去给马饮水，试问：牧人应走哪条路线才能使整个放牧的路程最短？ 新课标拓展训练（满分31分） 8．（创新实践题）（10分）如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连结AF．求证：∠BAF=∠ACF． 9．（自主探究题）（11分）如图所示，OE是△ABC的边AC的垂直平分线，OA平分∠BAC，EO交AB的延长线于D，连结OD、CD．求证：OC平分∠ACD． 10．（开放题）（10分）如图所示，△ABC中，AB=AC，AD是角∠BAC的平分线，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，求证：EB=FC． 新课标理念中考题（满分10分） 11．（10分）如图所示，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O． （1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来； （2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明． 答案: 1．B 2．D 3．点拨：连结MA． ∠C=30°，MA=CM．MN垂直平分AB，MA=MB． 4．连结OC、OD， （1）利用“SAS”证明△AOC≌△BOD． ∴∠AOC=∠BOD， 利用“SSS”证明△DMO≌△CMO， ∴∠COM=∠DOM，∠AOC+∠COM=∠BOD+∠DOM， 即∠AOM=∠BOM． （2）由（1）得△DMO≌△CMO， ∴M是△OCD中CD的中线， ∴∠OMC=∠OMD， ∴OM⊥CD． ∴OM是CD的垂直平分线． 5．点拨：作点A关于CD的对称点A′，连结A′B，交CD中点O，则点O为所求的饮水点，最短路程是1 000米． 6．点拨：作点B关于EF的对称点B′，连结B′A交EF于点C，按BC方向撞击白球，必沿CA方向击中黑球． 点拨：撞击方向BC与反弹方向CA，关于EF的垂线对称．用对称性来解决实际问题是一种常用的方法． 7．解：如图所示，作A关于MN的对称点A′，作B关于PQ的对称点B′，连结A′B′，交MN、PQ于C、D．则A→C→D→B就是牧人应走的最短路线． 点拨：A′、C、D、B′在一条直线上，且AC=A′C，BD=B′D，所以此路线为所求． 8．证明：∵EF垂直平分CD， ∴FA=FD（线段垂直平分线的性质定理）． ∴∠FAD=∠FDA（等边对等角）． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD（角平分线定义）． ∴∠FAD+∠BAD=∠FDA+∠CAD，即∠BAF=∠ACF． 点拨：这里的∠ACF可看作△ADC的一个外角，那么它等于∠ADF与∠DAC的和，认识到这一点解题思路就畅通了． 9．证明：DE垂直平分AC， ∴DA=DC，OA=OC（线段垂直平分线的性质定理）． ∴∠DAC=∠DCA，∠OAC=∠OCA（等边对等角）