离散数学模型模拟实体肿瘤内外的血管生成.pdfVIP

中国力学学会学术大会2009 （CCTAM2009 ） 离散数学模型模拟实体肿瘤内外的血管生成1) *，2) 赵改平 ，陈二云**，沈力行*，郦鸣阳*，吴洁*** * （上海理工大学医疗器械与食品学院，上海 200093 ） ** （上海理工大学能源与动力工程学院，上海 200093 ） *** （复旦大学力学与工程科学系，上海 200433 ） 摘要 本文通过建立九点差分格式的离散数学模型，模拟肿瘤内外的血管生成。考虑存在两根宿主血管的 情况下，血管内皮细胞沿九个方向运动，模型耦合内皮细胞在肿瘤内外不同力学环境下的随机、趋化和趋 触性运动，数值生成了肿瘤内外异构的血管网。模拟结果表明，该模型可以产生相对真实的具有接近肿瘤 病理生理特性的血管网，可为临床研究提供有益的信息。 关键词 实体肿瘤，血管生成，离散数学模型，数值模拟 引 言 肿瘤血管生成，即从已存在的血管网络中成长出新的血管网络，在肿瘤的生长、恶化、转移等 阶段发挥着重要的作用[1] 。血管生成加速了肿瘤从“相对无害”的无血管阶段向“恶性疯长”的血 管阶段的转变，为肿瘤的快速发展和转移提供了必需的营养和通道。依据肿瘤血管生成的生理过程， 近年来已经提出许多数学模型[2~7]描述实体肿瘤诱导血管生成的主要特性，其中离散数学模型成为众 多研究者关注的焦点。具有代表性的是Chaplain[2]等人建立的二维离散数学模型，通过追踪芽尖上单 个内皮细胞的运动轨迹，来描述肿瘤外部血管网的生长过程。但Chaplain模型中，仅考虑存在单根宿 主血管时，描述肿瘤外部血管网的生长，且单个内皮细胞仅能沿着五个方向自由运动。本文在Chaplain 模型的基础上，考虑存在两根宿主血管的情况，提出九点差分格式的离散数学模型，将新生血管芽 尖上内皮细胞的迁移方向扩展为可以沿着九个方向运动，并且模型耦合了内皮细胞在肿瘤内外不同 力学环境影响下的随机、趋化和趋触性运动，数值生成更加接近真实肿瘤的内部和外部的血管网， 为临床研究提供有益的信息。 1 数学模型 基于描述肿瘤外部血管网生成的离散数学模型，假设内皮细胞的迁移主要是随机运动、趋化效 应和趋触效应。模型中所有参数和方程均采用无量纲形式，则内皮细胞密度 n ，TAF 浓度 与 c Fibronectin (FN)浓度f 之间满足方程组 ∂n ∂t =∇⋅∇⋅D(r)n −∇⋅ χ c n∇c −∇⋅ ρ n∇f （1） ( ) ( ( ) ) ( 0 ) ∂n ∂t βn =−γnf （2 ） ∂c ∂t =−ηnc （3 ） 其中，内皮细胞随机扩散迁移由 2 表示，D 为正常数， 为距离肿 D r D r r D r r r r () ( )和 ( ) ( ≤ ) 0 r 0 t 0 t t ( ) r ( ) χ1c χ +αc 表示，它反映了随着 TAF 浓度的增 瘤中心的距离， 为肿瘤半径；趋化性迁移由 t 加，内皮细胞的趋化敏感性降低，α为正常数；系数χ 和ρ0 分别表示趋化性和趋触性迁移；β 表 示内皮