第十节 闭区间上连续函数性质.pptVIP

* 第十节 闭区间上连续函数性质 一 闭区间上连续函数定义 二 闭区间上连续函数性质 三 关于连续函数知识点总结 及典型例题 一 闭区间上连续函数定义 在闭区间[a,b]上连续： 在 (a,b) 内连续，在 a点右连续，在 b 点左连续. 1 最大值、最小值定义 二 最值定理 ,使任意 x 有 对于在区间 I上有定义的， 则称 是函数 在区间 I上的最大值[最小值] 如果 闭区间上连续函数一定有最大值、最小值. a b 2 最值定理 1 ） 将闭区间改为开区间不一定成立； 2 ） 闭区间上连续函数有间断点不成立。 在闭区间[ 0，2 ]上有间断点 1 1 1 2 3 ） 最大值、最小值可能相等。最值点可能不唯一。 x y 注意： 推论：有界性定理 闭区间[a,b]上连续函数一定在该区间上有界。 3 介值定理 1）零点 如果c有f(c)=0,则称c为f(x)的零点。 2）零点定理 设函数 在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0 那么在开区间（a,b)内至少存在一点c (acb)使f(c)=0 b c f(x) 注：1)充分条件非必要条件：如 2)零点不一定唯一 例1 证明： 在[0，1]内至少有一个根。 证： 在[0 1]上连续, a 由零点定理知，存在c(0c1),使 3）介值定理 若f(x)在[a,b]上连续且f(a)=A,f(b)=B,AB,那么对A与B间的任一数p,在开区间（a,b)内至少存在一点c，使f(c)=p (acb) 证明：构造函数 在[a,b}上连续， 由于p介于A, B之间，故A-p,B-p异号，从而由零点定理知道，存在c使 该定理的几何意义： 连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=p 至少相交于一点。 a b B P 推论：在闭区间上连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。 A 三、习题课 一、内容小节： 1、函数在一点连续的定义 2、间断点 类型： 第一类 第二类 可去型 跳跃型 无穷 振荡 3、运算法则 4、初等函数的连续性 5、闭区间上连续函数的性质 二、题目类型： 1、应用零点判定根所在的范围 例1：证明方程 在区间（0，1）内至少有一个根。 例2：设 f(x) 在[0,2a]上连续，且f(0)=f(2a).证明至少有一点c(0ca],使得f(c)=f(c+a). 证明：令 则F(x)在[0,a] 上连续，且F(0)=f(0)-f(a), F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0) 若f(0)=f(a),则取c=0或c=a 都使f(c)=f(c+a) 若F(0)f(a),则 F(0)与 F(a)异号，故至少有一点 c,使得F(c)=0,即f(c)=f(c+a) 例3、设函数 f(x)在[a,b] 上任意点 有 其中c为常数，且 证明：f(x)在[a,b]内至少有一零点。 ［分析］：只需证明函数连续 证明： 由 任意性知道f(x)在区间［a,b]上连续 从而由零点定理知至少存在一个根。 ２、讨论函数的连续性 １）对初等函数来讲，无定义就是间断 ２）对分段函数来讲，分段点处的连续性用连续的定义来判定。 选择：点 c 为 f(x) 的连续点，为g(x) 的第一类间断点，则 c是f(x)+g(x)的［　］ A)连续点； B)　不一定是连续点； C)第一类间断点； D)不一定是第一类间断点 答：［C］ 例４：讨论函数 　　　　　　　的连续性 间断点： 连续区间： 例６：设 讨论 在实数轴上的连续性，连续区间。 间断点为１，－１ 连续区间： 例7： 要使其为连续函数，确定a,b 的值 解： 需要在x=1,-1处连续 x=1,左极限a+b,右极限1，a+b=1 x=-1,左极限a-b,右极限-1, a-b=-1 a=0,b=1 例8： 求a,b,使f(x)在x=1点连续 解： 一定有公因式(x-1) 3、讨论函数的间断点 例9： 求间断点并判断其类型。 例10： x=1,左极限0，右极限1，跳跃间断点 解： 均为间断点， 即 可去间断点 无穷间断点 可去间断点 例11：考察 的间断点 例12：讨论函数 的连续性，并指明间断点的类型. 解： 在 连续。 4、证明题： 证明： 在x=1处连续，所以 例： 对一切不为0的实数 有 证明 在 处连续。 * *