第四章 级数 第三节 泰勒级数 复变函数与积分变换新版课件.pptVIP

第三节 泰勒级数 二、泰勒定理 三、将函数展开成泰勒级数 一、问题的引入 四、典型例题 五、小结与思考 * 一、问题的引入 问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？ . 内任意点 如图: . K . * 由柯西积分公式 , 有 其中 K 取正方向. 则 * 由高阶导数公式, 上式又可写成 其中 给(1)式两端加上极限，可得 (1) * 在K内 令 则在K上连续, 即存在一个正常数M, * 在 内成立, 从而在K内 泰勒级数 的泰勒展开式, 在 圆周 的半径可以任意增大,只要 内成立. 在 * 如果 到 的边界上各点的最短距离为 那末 在 的泰勒展开式在　　　　内成立． 因为凡满足 的 必能使 由上讨论得重要定理——泰勒展开定理 在 的泰勒级数 的收敛半径 至少等于　， 但 * 二、泰勒定理 其中 泰勒级数 泰勒展开式 定理 设 在区域 内解析, 为 内的一 为 到 的边界上各点的最短距离, 那末 点, 时, 成立, 当 泰勒介绍 * 1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?) 所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多. 　　因为　　解析，可以保证无限次可各 阶导数的连续性; 并且不必验证余项趋于零. 注意: * 4.利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？ 任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. (为什么?) * 那末 即 因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的. * 三、将函数展开成泰勒级数 常用方法: 直接法和间接法. 1.直接法: 由泰勒展开定理计算系数 例如， 故有 * 仿照上例 , * 2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式. 间接法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 . * 例如， * 附: 常见函数的泰勒展开式 * * 例1 四、典型例题 解 上式两边逐项求导, * 例2 分析 如图, * 即 将展开式两端沿 C 逐项积分, 得 解 * 例3 解 * 例4 解 * 例5 解 * 五、小结与思考 通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理,熟记 五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成 泰勒级数的方法, 能比较熟练的把一些解析函数 展开成泰勒级数. * 奇、偶函数的泰勒级数有什么特点? 思考题 * 奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项, 偶函数 的泰勒级数只含 z 的偶次幂项. 思考题答案 放映结束，按Esc退出. * 泰勒资料 Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, England Brook Taylor