第四章 线性代数应用实验.pptVIP

*/22 小行星轨道计算 特征值问题及应用 离散数据的多项式拟合 人口预测问题 线性代数应用实验 ? ? ? ? 约翰·开普勒(1571年～1630)以数学的和谐性探索宇宙,继哥白尼之后第一个站出来捍卫太阳中心说。因创立行星运动定律,被称为“天上的立法者”。 开普勒和行星运动定律 第三定律：太阳系内所有行星公转周期的平方同行星轨道半长径的立方之比为一常数。 第二定律：在椭圆轨道上运行的行星速度不是常数，而是在相等时间内，行星与太阳的连线所扫过的面积相等。 第一定律：行星在通过太阳的平面内沿椭圆轨道运行,太阳位于椭圆的一个焦点上。 例4.2 小行星轨道问题 以太阳为坐标原点观察小行星,测得坐标数据 x 4.5596 5.0816 5.5546 5.9636 6.2756 y 0.8145 1.3685 1.9895 2.6925 3.5265 a1x12 + 2a2x1y1 + a3 y12 +2a4 x1 + 2a5 y1 = –1 a1x22 + 2a2x2y2 + a3 y22 +2a4 x2 + 2a5 y2 = –1 a1x32 + 2a2x3y3 + a3 y32 +2a4 x3 + 2a5 y3 = –1 a1x42 + 2a2x4y4 + a3 y42 +2a4 x4 + 2a5 y4 = –1 a1x52 + 2a2x5y5 + a3 y52 +2a4 x5 + 2a5 y5 = –1 椭圆二次曲线方程 a1x2 + 2a2xy + a3 y2 +2a4 x + 2a5 y + 1 = 0 ? Az = b ? MATLAB 求解方程组方法：A\b 创建方程组系数矩阵方法： A=[X.^2, 2*X.*Y, Y.^2, X, Y] X=[4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756]; Y=[0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265]; A=[X.*X,2*X.*Y,Y.*Y,2*X,2*Y]; b=[-1;-1;-1;-1;-1]; z=A\b; a1=z(1);a2=z(2);a3=z(3);a4=z(4);a5=z(5); syms x y F=a1*x^2+2*a2*x*y+a3*y^2+2*a4*x+2*a5*y+1; ezplot(F,[-1,6.5,-1.5,6]) hold on,plot(X,Y,ro) 程序文件 mlab42.m MATLAB解算特征值问题方法 lamda=eig(A) —— 计算A的特征值,这里lamda是A的全部特征值构成的列向量。 [P,D]=eig(A) ——计算出A的全部特征值和对应的特征向量. 其中, D是对角矩阵,保存矩阵A的全部特征值; P是满阵, P的列向量构成对应于D的特征向量组。 矩阵特征值问题 A是n阶方阵,求非零向量 和数 使得 称 为特征向量,称 为特征值. 例. 简单迁移模型:每年A镇的人口10%迁往B镇;B镇的人口15%迁往A镇. 假设某年A、B两镇人口各有120人和80人.问两年后两镇人口数量分布如何? 设两镇总人口不变,人口流动只限于两镇之间.引入变量: x1(k) 表示 A 镇第 k 年人口数量; x2(k) 表示 B 镇第 k 年人口数量. 由第 k 年到第 k+1 年两镇人口数量变化规律如下 ? ? X(k+1) = A X(k) A=[0.9,0.15;0.1,0.85]; X0=[120;80]; X2=A^2*X0 D=eig(A) X(2) =AX(1) =A(AX(0)) = A2X(0) 120 80 X2 = 1.00 0.75 D= 若 则 x1 + x2 =200 x1 : x2=1.5:1 x1 =120 x2= 80 ? 例4.5 出租汽车问题。 出租汽车公司在仅有A城和B城的海岛上,设了A,B两营业部。如果周一A城有120辆可出租汽车，而B城有150辆。统计数据表明，平均每天A城营业部汽车的10%被顾客租用开到B城?,B城营业部汽车的12%被开到了A城。假设所有汽车正常，试计算一周后两城的汽车数量。寻找方案使每天汽车正常流动而A城和B城的汽车数量不增不减。 设第n天A城营业部汽车数为x1(n)，B城营业部汽车数为x2(n)。 则有 两营业部汽车总数量为：270 矩阵 特征值 特征向量 x1 + x2 =270 x1 : x2=1.2:1 x1 =147 x2= 123 近似解 Cars = 147.00 147.06 147.1068 147.1433 147.1718 147.1940 147.2