数值分析7-2 迭代法.pptVIP

第七章 非线性方程的求根 /* Solutions of Nonlinear Equations */ 求 f (x) = 0 的根 7.2 迭代法及其收敛性 一、迭代法的基本思想 二、迭代法收敛的条件 /* Fixed-Point Iteration and Convergence*/ 一、迭代法的基本思想 1. 迭代公式的构造 f(x) = 0 x = g(x) 构造公式 xk+1 = g(xk) 1)给初值x0 2)若xk→x* g(x)连续 x*就是f(x)=0的根 同解变形 为什么? 请回答: 为什么x*是f(x)=0的根？ 答：由 xk+1 = g(xk)，令 k → +∞ 得 即 这说明 x* 是 x = g(x) 的根， 因此也是 f(x) = 0 的根. 2. 迭代法的实现 f (x) = 0 x = g (x) 等价变换 f (x) 的根 g (x) 的不动点 思路 从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), …, xk+1 = g(xk), … 若 收敛，即存在 x* 使得 且 g 连续，则由 可知 x* = g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。 So basically we are done! I can’t believe it’s so simple! What’s the problem? Oh yeah? Who tells you that the method is convergent? 3. 迭代法举例 例 求方程 的一个根. 解法1 因为f(0)=10，f(1)=-70，故此方程在(0,1)中必有一实根。现将原方程改写成等价的形式 得迭代公式 取初始值x0=1，可逐次算得 因为x6和x7已趋于一致，所以取 为原方程在(0,1)内的一个根的近似值 解法2 原方程也可改写成 得迭代公式 仍取初始值x0=1，可逐次算得 其迭代值越来越大，不可能趋向于 某个极限，因此迭代是发散的。 注 (1)对于同一个方程，其迭代公式不是唯一的。 (2)迭代函数不同，迭代结果截然不同。有的序列收敛，有的却发散。 4. 迭代法的研究涉及五个问题： (1) 初值的选取； (2) 迭代公式的选取； (3)迭代公式收敛性的判定； (4)在收敛情况下，如何比较收敛速度； (5) 迭代停止的条件： x y o 5. 迭代过程的几何意义 y = g(x) y=x 解x = g(x) 求 y=x 与y = g(x) 的交点的横坐标 x* x0 (x0 , x1) (x1 , x2) (x1 , x1) x1 x2 x y y = x x y y = x x y y = x x y y = x x* x* x* x* y=g(x) y=g(x) y=g(x) y=g(x) x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? x0 p0 x1 p1 ? 二、迭代收敛的条件 复习 微分中值定理 设f(x)在[a, b]上连续，(a , b)内可导，则存在一点ξ，使下式成立 x y y=f(x) 0 b ξ a 定理 设方程x=g(x)在(a, b)内有根x*， 如果 (1)当x∈[a, b]时，g(x)∈[a, b], (2) g(x)可微，且存在正数q1， 使得对任意x∈[a, b]都有 则x=g(x)在(a,b)内有唯一的根；且迭代公式 对(a, b)内任意初 始近似根x0均收敛于方程的根x*. ? ? 证明 先证x=g(x)内有唯一的根 由已知条件知方程x=g(x)有根x*，即 设x=y*也是方程的根，即 则由微分中值定理得 其中ξ在x*,y*之间。因为q1， 故必有x*=y*。 下面证明迭代公式收敛。 由x0∈[a, b]知xk∈[a, b]，k=1,2,… 由微分中值定理得 其中ξ在xk, x*之间。从而 因为q1，故当k→∞时|xk+1-x*|→0, 故迭代收敛。 注1 定理中的q1非常重要，否则不能保证收敛，且q越小，收敛越快。 为恰当估计 ，可以把有根区间取得适当小。 注2 例1 求方程 在x=0.5附近的一个根。 分析：找到一个区间[a,b]，在此区间上迭代函数满足定理的条件，由此构造出的迭代公式才能收敛到方程的根。