数值分析7-2 迭代法(续).pptVIP

7.2 迭代法及其收敛性（续） 二、迭代法的收敛速度 一、迭代法的收敛条件 /* Fixed-Point Iteration and Convergence*/ 一、迭代法的收敛条件 1. 迭代公式的构造 f(x) = 0 x = g(x) 构造公式 xk+1 = g(xk) 1)给初值x0 2)若xk→x* x*就是f(x)=0的根 同解变形 2. 判断收敛的方法1： （区间收敛） 定理 设方程 x = g(x)有根x*, 则任取 x0?[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序列 收敛于g(x) 在[a, b]上的唯一不动点x* 。 ( I ) 当 x?[a, b] 时， g(x)?[a, b]； ( II ) ? 0 ? L 1 使得 | g’(x) | ? L 1 对 ? x?[a, b] 成立。 若 2.补充定理： 设方程x=g(x)在区间[a,b]内有根，若总有 ,则迭代公式对任意[a,b]上的初值均发散。 3. 判断收敛的方法2： （局部收敛） 定理 若在 x* 的附近g(x)的一阶导函数连续，且 | g’(x*) | 1， 则xk+1 = g(xk)迭代局部收敛。 例求方 程 在x=0.5附近的一个根。 分析：本题两种思路 方法1：找到一个区间(a,b)，在此区间上迭代函数满足定理的条件，由此构造出的迭代公式才能收敛到方程的根。 方法2：根据迭代法的局部收敛。 下面只考虑第2种方法. 方法2： 首先 连续 其次 局部收敛. 而 ,因此用迭代公式 例用不同方法求方 程 的根x*= 解：由方程可写成不同的迭代形式 (1) (2) (3) (4) 取x0 = 2，对上述4种迭代法，计算结果为： … … … … … … 1.732051 1.732361 1.5 87 x3 3 1.732143 1.73475 2 9 x2 2 1.75 1.75 1.5 3 x1 1 2 2 2 2 x0 0 迭代法4 迭代法3 迭代法2 迭代法1 xk k (收敛?) (发散?) 快 则称该迭代为p 阶收敛，其中 C 称为渐进误差常数。/* { xk } converges to x* of order p */ 二、迭代法的收敛速度 1. 迭代法的收敛阶/* Order of Convergence */ 定义 设迭代 xk+1 = g(xk) 收敛到g(x) 的不动点 x*。 设 ek = xk ? x*，若 特别地 p = 1时称线性收敛， /* linear convergence */ p 1时称超线性收敛/* superlinear convergence */ p = 2时称平方收敛 /* quadratic convergence */ Q: 如何实际确定收敛阶？