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周期性和抽象函数 1．周期函数：设函数，，如存在非零常数T，使得对任何，都有，则函数为周期函数，T为的一个周期。 (1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x－a) 或f(x－2a )=f(x) (a0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数； （2）若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数； （3）若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数； （4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数； （5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数； （6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2的周期函数； 2．处理抽象函数的六大策略： （1）递推（2）换元 （3）联用 （4）图象 （5）赋值 例1．（1）（96全国15）设f(x)是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x,则f(7.5)等于( ) A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 （2）设，且，， （3）设，且， _________ （4）设，且，， ，式是_____________ （5）函数都有= （ ） . . .. 解：（1）解：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)= f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5. （2）解法1：设 解法2：利用偶函数和周期性作出右图 A（－１，３）　Ｂ（０，２） 　　　　 （3）解：①　　② 将②代　　下同例题 （4）解法１：　　 　　　　 . 解法2：　　 ，　 ，下同例题. （5）解：. 令. 当，且. 上为增函数 评析：解抽象函数问题的方法，可概括为十个字：换元（例题解法1等）、递推（变式1）、联用（变式2的解法2）、图象、赋值（变式3）. 例2． 定义在R上的函数y= f(x) 是偶函数，且满足f(x+2)也是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]时f(x)的表达式. [解析]由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑： ①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]， ∵f(x)为偶函数， ∴当x∈[－2，0]时，f(x)= f(－x)=－2x－1, ②若x∈[－4，－2 ， ∴4+ x∈[0，2， ∵f(2+x)+ f(2－x)， ∴f(x)= f(4－x)， ∴f(x)= f(－x)= f[4－（－x）]= f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7; 综上， 例3．已知函数f(x)的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），且满足条件： ①f(x·y)= f(x)+ f(y)， ②f(2)=1， ③当x1时，f(x)0， （1）求证：f(x)为偶函数； （2）讨论函数的单调性； （3）求不等式f(x)+ f(x－3)≤2的解集. [解析] （1）在①中令x=y=1, 得f(1)= f(1)+ f(1) f(1)=0, 令x=y=－1, 得f(1)= f(－1)+ f(－1) f(－1)=0, 再令y=－1, 得f(－x)= f(x)+ f(－1) f(x), ∴f(x)为偶函 数； （2）在①中令 先讨论上的单调性， 任取x1、x2，设x2x10， 由③知：0，∴f(x2)f(x1)， ∴f(x)在（0，+∞）上是增函数， ∵偶函数图象关于y轴对称 ，∴f(x)在（－∞，0）上是减函数； （3）∵f[x(x－3)]= f(x)+ f(x－3)≤2， 由①、②得2=1+1= f(2)+ f(2)= f(4)= f(－4)， 1）若x(x－3)0 , ∵f(x)在（0，+∞）上为增函数， 由f[x(x－3)] ≤f(4)得 2）若x(x－3)0, ∵f(x)在（－∞，0）上为减函数； 由f[x(x－3)] ≤f(－4)得 ∴原不等式的解集为： 练习： 1.（2001北京春2）函数f（x）=ax（a0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有（ ）C A.f（xy）=f（x）·f（y） B.f（xy）=f（x）+f（y） C.f（x+y）=f（x）·f（y）