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第七章 网络流 苏明 1 网络流 组合算法中最古老的问题：确定二部图 中最大匹配的大小 可以有一个多项式时间的算法，但需要 新的思路 本章中介绍一类一般化的问题-网络流问 题，对一般性的问题，即最大流问题, 开 发一个多项式时间的算法，然后说明其 一般性应用 2 网络流 应用场景 Airline scheduling. Bipartite matching. Baseball elimination. Image segmentation. Network connectivity. Network reliability. … 3 7.1 最大流问题 用图对交通网络建模 比如公路系统：边是公路，结点交叉路口 比如计算机网络：边是链接线，结点是开关 比如管网：边是输送些体的管道，结点是管道 连接点 抽象出来的要素： 边上的容量； 源点；终点；交通量通过边运送 4 最大流问题 流网络 有向图G=(V,E) 每条边关联一个容量，非负数Ce. 存在单一源点s, 以及单一汇点t 5 最大流问题 流的定义： s-t流是一个函数f,它把每条边e映射到 一个非负实数f: E →R + ,值f(e)表示由边 e携带的流量，一个流f必须满足下面两 个性质： 1. (容量条件)0=f(e)=Ce 2. (守恒条件)除了s,t外，对每个结点v,满 足 ∑f (e) ∑f (e) e _ in _ v e _ out _ v 6 最大流问题 定义 f out (v) ∑f (e), f in (v) ∑f (e) e _ out _ v e _ in _ v 我们记 v(f ) f out (s) 最大流问题：给定一个流网络，自然的 目标就是安排交通使得有效容量尽可能 得到有效使用：找出一个具有最大值的 流 7 最大流问题 8 最大流问题 可以找到更大的： 9 最大流问题 实际上最大的流： 10 最大流问题 设计算法 先从贪心算法开始：对所有的e,f(e)=0. 现在，沿着一条从s到t 的路径通过“推”这 个流来增加f 的值
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