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第五章 稳定性理论 1 5.1 外部稳定性和内部稳定性 1、外部稳定性 （又称有界输入有界输出稳定性 ） 定义：对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常 数k及一个标量使得对于任意的 t [t ,) 0 当系统的输入u(t)满足 u(t)  k, t [t ,) 0 所产生的输出y(t)一定满足 y(t) k, t [t ,) 0 那么称此因果系统是外部稳定的，也称有界输入有界输出稳定， 简记为BIBO稳定。 BIBO稳定是通过输入输出关系来体现稳定性，但稳定性本身仍然 2 是由系统结构和参数决定的，与外部输入无关。 2、外部稳定性的判断 1 ）线性时变系统 对于零初始条件的线性时变系统，设G(t,)为其脉冲响 应矩阵，则系统为BIBO稳定的充要条件是存在一个有限常数 k使得对于任意的t[t ，∞) ， G(t,) 的每一个元g (t,)都满 0 ij 足下式 t  g (t,)d  k   i 1,q,j 1,p t ij 0 证明：先证充分性，当上式满足时，且外加有限输入 u(t)  k, t [t ,) 0 那么系统就BIBO稳定 首先对于单输入单输出系统 3 t y(t) t g(t,)u()d 0 那么 t t y(t) g(t,)u()d  g(t,) u()d  kk   t0 t0 1 对于多输入多输出系统 p t1 y (t) g (t,)u ()d i t ij j 0 j 1 t1 p t1 p y (t) g (t,)u ()d  g (t,)u ()d i