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教师是用教材，而不是教教材 ——《26.1二次函数》教学案例分析 孙宏亮 《26.1二次函数》选自义务教育课程标准《华师大版数学》九年级下册。本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题。 教学中我让学生通过分析实际问题（探究围一个矩形的花圃时长和宽之间的关系），从学生感兴趣的问题入手，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，归纳出二次函数的概念，从中体会函数的建模思想，感受数学的广泛联系和应用价值。 教学片断： 一、由实际问题探索二次函数关系 要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？ [师]问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ [生]变量矩形的长和宽、矩形的面积。其中矩形的长或宽是自变量，矩形的面积是因变量。 此处提问时先由学生思考哪些是变量,等学生思考并回答后再提问哪些是自变量,哪些是因变量。这样设计问题由简单到复杂，逐步推进，同时也可让学生初步体会到问题中所蕴涵着的函数关系。 [] 设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，你能算出矩形的另一边BC的长吗？ 如果设矩形的面积y m2，那么你请你写出y与x之间的关系式。 请大家互相交流后回答。 [生] （1） 设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，那么BC的长可以表示为(20-2x)m。 （2）如果矩形的面积y m2，那么y=x(20-2x)=-2 x2+20 x。 [师]大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗? [生]因为x是自变量，y是因变量，给x一个值，相应地就有唯一确定了一个y的值，因此根据函数的概念，y是x的函数。但是从函数形式上看，它不同于正比例函数，一次函数与反比例函数。 二、想一想 [师]如果你是这项工程的负责人，你最关心的问题是什么? [生] 怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？ 让学生在生活情景中学习数学，带着兴趣学数学，体验每个人都学有用的数学。 [师]请大家发表自己的看法。 安排学生思考，可以是小组合作，也可以是自主学习的形式，然后组织交流。 [生1]在函数y=-2 x2+20 x中，因为影响矩形面积的应该为-2 x2+20 x，我令-2 x2+20 x =0，解得x1=0，x2=10。所以我认为x的取值应该在0x10之间。 [师]确实如此？那在0x20之间到底取何值能使y取到最大值？ [生2]我取了当x＝2时，y＝32 当x＝5时，y＝50 当x＝7时，y＝ [师]从这里你发现了什么？ [生2]那最大值应该出现在2x7。 [师]如何说明？ [生2]继续取值：当x＝3时，y＝42 当x＝6时，y＝48 当x＝8时，y＝42 [师]能不能知道当x＝9时y的值？ [生]脱口而出：y＝48 [师]由此大家能发现什么？ [生]从0－2－3－5随着x的值增大，函数值y也增大。从5－6－8－10随着x值的增大，函数值y却减小。 可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大。当x取5时，y取最大值。x大于5时，y的值反而减小。因此当矩形的长和宽分别为10和5，最大值是50。 教师用自己的手势向学生说明此函数的增减性，0－时y随x的增大而增大，5－10时y随x的增大而减小，使学生形成对二次函数图象的初步印象。 []大家的猜想很有道理，推理能力日渐增长，究竟猜想结果如何，我们将在后面的学习中专门进行研究。 …… 教学反思： 这样的教学处理让学生经历了数学学习的全过程，从自己的角度去猜测、去尝试、去探索当矩形花圃的长和宽分别取多少时，可以使其面积达到最大。课堂中学生表现出极大的兴趣去探究问题。教师给学生充分的探究空间和时间。教师对学生的探究加以指导，但却不是完全代劳。本课的教科书提供了一个表格让学生进行探索。 [师]请大家先填表，再猜测。 x＝5时，花圃的面积y的值最大。但是我并没有采用。 由教师给出表格让学生探索，等于让学生沿着教师的思维进行思考和探究，这样做限制了学生的思维，使学生失去了自己探索的空间，不能全身心地投入数学学习。从本节的教后反馈来看，不借助上述的表格，放手让学生自主探索，学生完全能找到解决问题的办法。通过探究的过程，既培养了学生的观察能力，也回顾了学生已有的知识，如取值的过程从2，5，7的这一取法，就是在七年级所学的有理数估算的思想，分段取值，逐步逼近。发现函数与方程的联系（如：令-2 x2+20 x＝0解得x1＝0，x2=10），发现变与不变的关系。学生自己探究过程所得出的结论不仅能很