165-1-二项式定理(1课时).docVIP

课题：16.5-1-二项式定理(1课时) 教学目的：1、掌握二项式定理以及二项展开式的有关特征； 2、掌握二项式定理的推导方法； 3、能用二项式定理计算和论证一些简单问题。 教学重点：二项式定理 教学难点：二项式定理的推导及其应用 教学过程： [问题情景] 某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种年利率9％，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息。5年后可多得利息多少元？10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是10×(1＋11％×10＝21（万元） 10万元，年利率9％，按每年复利一次计算，10年后的本利和是10×(1＋％ （万元） 1＋％＋ 的展开式。 我们知道：(a＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋4次式，即 利用组合知识，我们发现，在上面4个括号中： b的情况有1种，即 ；恰有1个取b 种，所以a3b 的系数是 ；同理，a2b2，ab3，b4的的系数分别是、、。 则(a＋a4＋＋＋＋＋an＋＋＋＋＋＋共有(r＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数，式中的a n－rbr叫做二项展开式的通项(第r＋1项)：T r＋1＝a n－rbr [例1] 求(x＋ 解：(x＋x4＋)＋)2＋)3＋)4 ＝x4＋＋＋＋2] 求(－)6的展开式 . 解1：(－)6＝() 6＋)5(－)＋)4(－)2 ＋)3(－)3＋)2(－)4 ＋) (－)5＋)6 ＝x3－12x2＋＋＋－)6＝()6＝(x－2) 6 ＝x3－12x2＋＋＋＝20 (2) 第4项的系数是什么？—— (－2)3＝－160 (3) 不展开二项式，能否求第4项？—— 求T 5（注意：r＝3，n＝6） T 4＝()3(－)3＝－160 [解题反思]：(1)展开式中项的二项式系数和项的系数是不一样的；(2) 运用二项展开式的通项公式时，要注意r的取值。 [例3] 求(2－)8的展开式的第6项的二项式系数和系数. 解：第6项的二项式系数为＝56 第6项的系数为23(－1)5＝－448 [注意]：第6项为T 6＝23(－)5＝－448 （通项公式中n＝8，r＝5） 变式一：求(2－)8的展开式中含的项 由T r＋1＝28－r (－) r＝28－r (－1) r 知：r＝6 则含的项为T7＝22 (－)6＝ 变式二：求(x－)9的展开式中含x3的项 由T r＋1＝x9－r (－) r＝(－1) rx9－2r 知：9－2r＝3 ∴ r＝3 则展开式中含x3的项为T4＝(－1) 3x3＝－84 x3 练习：1．计算：＋－1)5 ＝[()5＋)4＋)3＋)2＋)＋)5－5()4＋)3－10()2＋)－1] ＝2[5()4＋)2＋＋＋2．：＋＋＋＋9n＋＋＋＋＋＋3．求＋＋x项的系数。 解1＋＋＋＋＋＋ ＋＋＋＋＋＋x项，其系数为··3·24＝240 解2：＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋x项的系数是32＋＝240 4．解决本节课开始提出的问题。 解：101＋％10(1＋10(1＋×＋×＋9％每年复利一次计算的要比年利率11％单利计算更有利，10年后多得利息1.645万元。 [课堂小结]：二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式二项式的乘方的展开式要理解和掌握展开式的规律利用它就可以对二项式展开，进行计算或证明。 8