线性代数复习（广东外语外贸大学）2.3逆矩阵.pptVIP

2.3 2.3 * 2.3 逆矩阵 一、逆矩阵的存在性 定义：对于n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得 AB=BA=E，则称矩阵A为可逆矩阵，而矩阵B称 为A的逆矩阵。记为A－1 二、逆矩阵是唯一的 命题1：若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。 证：设B与C均为A的逆矩阵 B =EB =(CA)B 三、逆矩阵的有关定理 定理1：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是其行列式 , 且当A可逆时，有 =C(AB) =CE=C ----如何求逆矩阵 求（证明）逆矩阵的方法，需判断行列式。 1、 时，称A为非奇异的，否则称A为奇异的。 2、A*为矩阵A的伴随矩阵 (1)定义3：行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成 的矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵。 说明充分性 (2)伴随矩阵的基本性质：AA*=A*A=|A|E 推论1：若AB=E(或BA=E)，则B=A-1 是否存在？具体是什么？ 存在： |AB|=|E| 具体是什么？ B= EB =(A-1A)B =A-1E =A-1(AB) =A-1 =1 =|A||B| 四、逆矩阵的运算性质 1、若矩阵A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1=A 2、若矩阵A可逆，数 ，则 伴随矩阵的常用公式：A*=|A|A-1 证明过程可用于求（证明）逆矩阵的方法，需判断行列式。 定理给出了求（证明）逆矩阵 的方法，且不用判断行列式。 3、两个同阶矩阵A，B的乘积是可逆矩阵，且 证明： 4、若矩阵A可逆，则AT也可逆，且(AT)-1=(A-1)T 推广:(A1A2…An)-1=An-1…A2-1A1-1 证明： 5、若矩阵A可逆，则|A-1|=|A|-1。 即|A-1|与|A|成倒数关系 6、若矩阵A可逆，则A-k=(A-1)k。 性质内容给出了求（证明）逆矩阵的方法，且不用判断行列式，但原矩阵必需是可逆的 五、逆矩阵的应用 例1：解矩阵方程 设： 用定理1 例2：设 ，且 ， 求 用定理1的推论 自学P56例7与例8 例3：设矩阵A可逆，证明其伴随矩阵A*也可逆，且 (A*)-1=(A-1)*。 例4：设A为 矩阵，A*是A的伴随矩阵，若|A|=2， 求|A*|。 用定理1的推论 例5、设矩阵A、B、A+B都可逆，证明A-1+B-1也可逆， 并求其逆矩阵。 将A-1+B-1表示成三个可逆矩阵相乘，运用逆矩阵的运算性质，不需求行列式。 运用推论1的证明方法。 本节求逆矩阵的解题方法（技巧）： 1、A=AE 2、E=AA-1 3、AB=E(BA=E)推出A=B-1或B=A-1（推论1） 1与2一般一起使用 4、逆矩阵运算性质3 *