微积分B教学（扈志明）第4周讲课提纲（函数极限概念、重要极限、无穷小比较）.pdfVIP

（工科）第4 周讲课提纲 By Huzm 第 1 页 共 19 页 作业： P80 1 （2 ）（4 ）（6 ），3 （1）（2 ）函数极限运算 P80 2 （7 ）（8 ）(12) （13），4 （1）（2 ）（重要极限） P87 4 （1）（3 ）（5 ）（7 ）（等价无穷小） §2.4 函数极限的概念与性质函数极限的概念与性质 函数极限的概念与性质函数极限的概念与性质 一、函数在一、函数在x → x 时的极限时的极限 一、函数在一、函数在 0 时的极限时的极限 1．． lim f (x) = A 的定义的定义 ．． 的定义的定义 x→x0 定义：定义：设函数f (x) 在点x 附近有定义，A ∈R 是一常数．若对∀ε 0 ，∃δ 0 ，使得 定义：定义： 0 当0 x − x δ 时，总有f (x) −A ε 成立，则称A 是函数f (x) 在x 趋向于x 时的极限极限， 0 0 极限极限 记作lim f (x) = A ． x→x0 关于极限定义要注意： （1）0 x − x δ ； （2 ）lim f (x) 与f (x ) 的关系； （3 ）δ 与ε 及x 的关系． 0 0 0 x→x0 Note1 ：从几何上看， 指的是在 附近，曲线y = f (x) 可以无限靠近水平直线 lim f (x) = A x0 x→x0 y = A ． Note2 ：：lim f (x) ≠ A ⇔ ∃ ε 0 ，对∀ δ 0 ，∃ x 使得0 x − x δ ，但 f (x ) − A ≥ε ：： 0 δ δ 0 δ 0 x→x0 成立． 2 1 例：例：用定义证明（1）lim x = 1 ， （2 ）lim xsin = 0 ， （3 ）lim cos x = 1 ． 例：例： x→1 x→0 x x→0 证：证：（1）不妨设x ∈(0,2) ，则 证：证： 2 x − 1 = x + 1 x − 1 3 x − 1 ． 任给ε 0 ，要使 2