江苏高考立体几何证明的通法研究.docVIP

精品论文 参考文献 江苏高考立体几何证明的通法研究 ◆ 王宏宁　江苏省南京市第六十六中学　210037 2011年江苏省高考说明中强调：“重视数学基本能力和综合能力的考查。”而数学基本能力在立体几何证明这一题的考核中主要包括空间想象能力、推理论证能力。 (1)空间想象能力的考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系， 并能够对空间图形进行分解和组合。 (2)推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性。 一、证明的通法探究 在笔者教学过程中，发现学生的空间想象力本来就不是很好，再加上立体几何证明线面、面面平行与垂直关系的定理条件比较多，很多学生思路混乱，解题过程没有章法，往往是想到什么写什么，写出来的结论有什么用也不清楚。故此，我一直在寻求如何找到一些证明的通法，让证明思路变得清晰，过程书写变得流畅、准确，易于学生操作，逐步增强他们的空间想象力与逻辑推理能力。 而纵观近几年江苏的高考题，立体几何都处于解答题第16题的位置，也就是属于容易题范畴，考察的难度不大，且都是考察线线、线面或面面的平行与垂直关系的证明。2010年第二小问考察的求解点到平面的距离，使用等体积转换，其一半的解题也是在于证明线面垂直，从而找到三棱锥的高线。 通过努力和总结，现把收获的一些体会总结如下： 1.一般来说，可使用“线线、线面、面面”来揭示证明的思路，从而找到控制证明方向的通法。 例1：【2011江苏16】如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PADperp;平面ABCD，AB=AD，ang;BAD=60deg;，E、F分别是AP、AD的中点。 求证：（1）直线EF∥平面PCD。 （2）平面EFCperp;面BCD。 第一小问中，要证明“线面平行”，那么，按照“线线线面面面”的相互关系，往左侧思考，则使用线面平行的判定定理去寻找“线线平行”即可。 第二小问中，要证明“面面垂直”，往“线线线面面面”关系的左侧去寻找“线面垂直”，即按照面面垂直的判定定理“包含垂线，垂直平面”，去寻找直线BFperp;平面PAD，之后由于条件中给出了“面面垂直”，故此，利用面面垂直的性质定理“垂直交线，垂直平面”，只需确定BD垂直于两平面的交线AD即可。 通过证明思路的通法梳理，一般学生都能很快地找到证题的思考方向，从而迅速地完成整个问题的分析，理顺条件与结论的关系。 2.使用“分析树”标出主要证明节点，构建证明主体过程的分析通法。 在此以例1中的第二小问为例，描述“分析树”的通法构建过程。 例1（2）要证明面面垂直“面BEFperp;面PAD”，则需要证明线面垂直“直线BFperp;平面PAD”。已有“面PADperp;面ABCD”，则需要证明BD垂直交线AD，“BDperp;AD”。 3.利用“模块化书写”突出定理的整体性，形成立体几何证明的书写通法，使得证明过程准确清楚。 在完成第一、二两步之后，剩下来的书写过程就变得简单了，只需要把对应的主要节点，按照定理的内容逐个条件书写清楚，就可以完成整个证明过程。而且在高考中这样书写不会因为丢失定理的条件而导致不必要的失分。 在此，以例1为例，描述“模块化书写”的通法。 二、证明的通用技巧归纳与整理 1.线面平行的证明技巧 一般来说，线面平行的证明如果能在面内找到一条直线与已知直线平行，即可判定线面平行。 例3.已知：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是PC的中点。 求证：PA∥平面ACE。 通过平行移动，把P点移至E点位置，此时刚好与BD的交点即AC、BD的交点，从而顺利地找到所需的平行线。 2.证明在同一平面内的线线平行或垂直技巧 在证明同一平面内的线线位置关系时，通常采取降维的做法，把问题从立体图形转化为平面几何图形来研究，比较简单且易于观察。 例1的2011年江苏立体几何证明，没有证出来该题的学生中，不少是没有作出底面四边形ABCD，从而没有注意到BF是AD边上的高线。