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等角定理 必修2 第一章 立体几何初步 * 知识探究：等角定理 思考1:在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？ * 思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′ 的底面是平行四边形，∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ? B A D C A B D C B A D C A B D C * 思考3:如图， 在空间中AB// A′B′，AC//A′C′， 你能证明∠BAC与∠B′A′C′相等吗？ B C A B′ C′ A′ E E′ D D′ * 思考4:综上分析我们可以得到什么定理? 定理 空间中如果两个角的两边分别 对应平行，那么这两个角相等或互补. 思考5:上面的定理称为等角定理，在等角定理中，你能进一步指出两个角相等的条件吗？ 角的方向相同或相反 * 例1 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. (1) 求证：四边形EFGH是平行四边形. (2) 若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形? F G D A E B C H 例2.如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（ ） A、平行 B、相交且垂直 C、异面直线 D、相交成60° A B C (D) D * 例3 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对? F A H G E D C B C D B A E F G H 例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体 (3)若M、N风别是A1B1，BB1的中点，求AM与CN所成的角 (1)求异面直线AA1与BC所成的角 (2)求异面直线BC1和AC所成的角 ① 适当的平移 ② 相交成平面图形 D C B A A1 D1 C1 B1 （在平面上平移） （一般为三角形） ③ 由②计算出对应平面角θ ④ 若θ为钝角，则取其补角 体现：降维思想 思路整理： 例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值. 取BB1的中点M，连O1M，则O1M??D1B， 如图，连B1D1与A1C1 交于O1， 于是?A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角） O1 M D B 1 A 1 D 1 C 1 A C B 解： 为什么？ 于是?A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）， 例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值. 取BB1的中点M，连O1M，则O1M??D1B， 如图，连B1D1与A1C1 交于O1， 解： 为什么？ M O1 D B 1 A 1 D 1 C 1 A C B ?A1C1与BD1所成角的余弦值为 方法归纳： 平移法 连A1M，在?A1O1M中 即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角. 由勾股定理得： 解法二： 方法归纳： 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系. 在?A1C1E中， ?A1C1与BD1所成角的余弦值为 如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 连结A1E，C1E，则?A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)， F1 E F E1 B D B 1 A 1 D 1 C 1 A C BC1的方体B1F， 方法整理： （在平面上适当的平移） 异面直线平移成相交直线 2、异面直线所成角的解题思路： 由两相交直线构造一个平面图形（三角形） 求出平面图形上对应的角θ 注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π-θ 体现了立几的“降维思想” 1、解立体几何计算题的“三步曲”： 作 证 算 3、异面直线所成角的求法： 方法整理： 平移法 ①常用中位线平移 ②借助于平面平移 α a b a O 借助于平面α,使两条异面直线移动到相交, 是研究异面直线所成的角时必备法宝. 异面直线所成角的求法 练习1.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD =CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点 B C D M N A （1）找出异面直线AB、MN所成的角。 o 新课讲解： 异面直线所成角的求法 B C D M N A o （2）找出异面直线AB、CD所成的角。 新课讲解： 异面直线所成角的求法 练习2.已知空间四边形ABCD中，AD=