给出可逆的充分必要条件.docVIP

 2．设，给出可逆的充分必要条件，并在可逆时求其逆． 四、（共10分）化二次型 为标准形，写出所作的非退化的线性替换．并回答下列问题： （1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？ （2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？ 五、（14分）当为何值时，下面线性方程组有解？并求解． 六、（10分）设向量可以由线性表出，但不能由线性表出．证明：（1）可由向量组 线性表出；（2）不能由 线性表出． 七、（10分）设是一个秩为的矩阵，证明：存在一个秩为的矩阵，使． 八、（10分）证明：如果，，则． 参考答案及评分标准（试题四） 一．判断题（每小题2分） 1．×； 2．√；3．×；4．×；5．√；6．×；7．×；8．×；9．√；10．√． 二．填空题（每小题2分，共14分） 1．； 2．负号； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．． 三．计算（每小题6分，共12分） 原式 ………（2分） ………（4分） ………（6分） 2．因为，所以可逆的充分必要条件是， ………（3分） 且 ………（6分） 四．，令 ，则………（2分） 再令，则 ………（4分） 且所作的非退化的线性替换为 ． ………（6分） （1）该二次型的正、负惯性指数及符号差分别是2，1，1． ………（8分） （2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是 与 ………（10分） 五．解 ………（2分） （1）当且时，方程组有唯一解： ………（4分） ，，，； ………（7分） （2）当时，方程组无解； ………（9分） （3）当时，方程组有无穷多解： ………（11分） ………（14分） 六．证明 （1）因为可以由线性表出，所以存在不全为零的数， 使， ………（2分） 若，则可以由线性表出，矛盾．故， ………（4分） 从而有． ………（5分） （2）（反证法）若可由线性表出，又由于可以由线性表出，得可以由线性表出，矛盾．故不能由线性表出． ………（10分） 七．证明 考虑齐次线性方程组，因为秩，故存在基础解系，作 矩阵，则，且秩． ………（10分） 注1 在构造矩阵时，的后面列未必一定要取零向量，事实上，只要说明中每列都是线性方程组的解，且中含个线性无关的列向量即可． 注2 本题的另一证法是：由秩，存在可逆矩阵使，即 ，取，则 八．证明 由及，存在多项式（），使 ，， ………（4分） 两式相乘得， ………（8分） 所以有． ………（10分） 一、判断题（每小题2分，共20分） 集合｛︱为整数｝是一个数域； （ ） 设在数域上，则一定有； （ ） 若整系数多项式无有理根，则在有理数域上一定不可约； （ ） 设是级矩阵，是任意常数，则或； （ ） 设是一个4级排列，则与的奇偶性相同； （ ） 设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0， 则该线性方程组无解； （ ） 任意等价向量组中所含向量的个数相等； （