第八章 Matlab软件介绍(一维插值与多项式拟合)1.ppt

Tsinghua University Uncertainty Theory Laboratory 数学模型与实验 Mathematical modeling 刘志兵 College of Mathematics and Information Science Huanggang Normal University Hubei 438000, China lzb8401552@hgnc.net lzb8401552@hgnc.net 数学模型与实验 分段线性插值 三次样条插值 一 维 插 值 一、插值的定义 二、插值的方法 三、用Matlab解插值问题 插 值 与 拟 合 插 值 拉格朗日插值 一维插值的定义 已知 n+1个节点 其中 互不相同，不妨设 求任一插值点 处的插值 ? ? ? ? ? 节点可视为由 产生,， 表达式复杂,， 或无封闭形式,， 或未知.。 ? 构造一个(相对简单的)函数 通过全部节点, 即 再用 计算插值，即 ? ? ? ? ? ? 返回 称为拉格朗日插值基函数。 已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数f(x)=Pn(x), 使其满足： Pn(xj)=yj,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 其中Lj(x) 为n次多项式： 拉格朗日(Lagrange)插值 t=1; for k=1:n if k~=j t=(x(i)-x0(k))/(x0(j)-x0(k))*t; end end L(j)=t; p=0; for j=1:n t=1; for k=1:n if k~=j t=(x(i)-x0(k))/(x0(j)-x0(k))*t; end end L(j)=t; p=p+y0(j)*L(j); end f=p; 综上所述, 自定义lagrange11函数 function f=lagrange11(x0,y0,x) n=length(x0); p=0; for j=1:n t=1; for k=1:n if k~=j t=(x(i)-x0(k))/(x0(j)-x0(k))*t; end end L(j)=t; p=p+y0(j)*L(j); end f=p; 注: 此时调用该函数时,只能一个一个代入x的值,不方便 x表示成向量形式, 自定义lagrange11函数 function f=lagrange11(x0,y0,x) n=length(x0); n1=length(x); for i=1:n1 p=0; for j=1:n t=1; for k=1:n if k~=j t=(x(i)-x0(k))/(x0(j)-x0(k))*t; end end L(j)=t; p=p+y0(j)*L(j); end f(i)=p; end 拉格朗日(Lagrange)插值 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: 三点二次(抛物)插值多项式: 拉格朗日多项式插值的 这种振荡现象叫 Runge现象 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形. 例81 返回 To Matlab liti81(lagrange11) %当n=2时 x0=linspace(-5,5,3); y0=1./(1+x0.^2); x=-5:0.1:3; z0=lagrange11(x0,y0,x); plot(x,z0,r) 分段线性插值 计算量与n无关; n越大，误差越小. ? ? ? ? ? ? xj xj-1 xj+1 x0 xn x o y 比分段线性插值更光滑。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? x y xi-1 xi a b 在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。