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第七章 线性变换练习题测试题 一、填空题 1．设是线性空间的一组基，的一个线性变换在这组基下的矩阵是则在基下的矩阵＝_________，而可逆矩阵T＝_________满足在基下的坐标为_________ . 2．设为数域上秩为的阶矩阵，定义维列向量空间的线性变换：　,则＝____，＝___，＝_____ . 3．复矩阵的全体特征值的和等于_____ ，而全体特征值的积等于_____ . 4．设是维线性空间的线性变换，且在任一基下的矩阵都相同，则为_____变换 . 5．数域上维线性空间的全体线性变换所成的线性空间为_______维线性空间，它与________同构. 6．设阶矩阵的全体特征值为，为任一多项式，则的全体特征值为________ . 二、判断题 1．设是线性空间的一个线性变换，线性无关，则向量组也线性无关.　　（　　） 2．设为维线性空间的一个线性变换，则由的秩＋的零度＝，有　 （　　） 3．在线性空间中定义变换：，则是的一个线性变换.　（　　） 4．若为维线性空间的一个线性变换，则是可逆的当且仅当＝｛0｝.　　（　　） 5．设为线性空间的一个线性变换，为的一个子集，若是的一个子空间，则必为的子空间. （　　） 三、计算与证明 1．判断矩阵是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T，使成对角形. 2．在线性空间中定义变换： （1）证明：是的线性变换. （2）求与 3．若是一个阶矩阵，且，则的特征值只能是0和1. 自测题 一、填空题（每小题3分，共18分） 1．是上的线性变换，若，则　　　　　． 2．：，；：，，则 ． ． ． 3．设，则向量是A的属于特征值 的特征向量． 4．若与相似，则= ． 5．设三阶方阵A的特征多项式为，则 ． 6．阶方阵A满足，则的特征值为 ． 二、判断说明题（每小题5分，共20分） 1．阶方阵A至少有一特征值为零的充分必要条件是． 2．已知，其中为阶可逆矩阵，为一个对角矩阵．则A的特征向量与P有关． 3．为V上线性变换，为V的基，则线性无关． 4．为V上的非零向量，为V上的线性变换，则是V的子空间． 三、计算题（每小题14分，共42分） 1．设与相似． （1）求的值； （2）求可逆矩阵，使． 2．中，线性变换关于基，，的矩阵为 （1）求关于标准基的矩阵； （2）设,,求关于基的坐标． 3．设是的线性变换, （1）求的一个基和维数； （2）求的一个基和维数． 四、证明题（每小题10分，共20分） 1．设A是阶矩阵，且有，，证明：-1是A的特征值． 2．设是V上的两个线性变换，证明： （1）的充要条件是； （2）的充要条件是． 小测验七 姓名　　　　学号　　　　 一、填空题 1．设是线性空间V的一组基，V的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是则σ在基下的矩阵 B＝　　　 　　，而可逆矩阵T＝　　 　满足 在基下的坐标为　　　　　　　　 . 2．设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间Pn的线性变换σ： 则＝　　　　　　　，＝　　　，＝　　　 . 3．复矩阵的全体特征值的和等于　　　　　 ，而全体特征值的积等于　　　　　 . 4．设σ是n维线性空间V的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则　为　　　　　　变换 . 5．数域P上n 维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为　　　　　 维线性空间，它与　　　　同构. 6．设n阶矩阵A的全体特征值为，为任一多项式，则的全体特征值为　　　　　　　　　　　　 . 二、判断题 1．设σ是线性空间V的一个线性变换，线性无关，则向量组也线性无关. 　　（　　） 2．设σ为n维线性空间V的一个线性变换，则由　σ的秩＋σ的零度＝n，有　　 　（　　） 3．在线性空间R2中定义变换σ：，则σ是R2的一个线性变换.　　　 （　　） 4．若σ为n维线性空间V的一个线性变换，则σ是可逆的当且仅当＝｛0｝.　 　（　　） 5．设σ为线性空间V的一个线性变换，W为V的一个子集，若是V的一个子空间，则W必为V的子空间. （　　） 三、计算与证明 1．判断矩阵A是否可对角化？若可对角化，求一个可逆矩阵T，使成对角形. 2．在线性空间Pn中定义变换σ： （1）证明：σ是Pn的线性变换.