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第七章 线性变换习题解答P.320 1. 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是 (1) 在线性空间V中, A (=(+(, 其中((V是一个固定的向量. 答: 当时，A不是线性变换, 因为A0=((0.. 当时，A (=(，所以A是单位变换, 从而是线性变换.. (2) 在线性空间V中, A (=(, 其中((V是一个固定的向量. 答: 当时，A不是线性变换, 因为A0=((0... 当时，A (=0，所以A是零变换, 从而是线性变换.. (3) 在P3中, A ()=. 答: 取(=(1,0,0), 则A (()=(, A (2()= A (2,0,0)=(4,0,0) (2 A(. 所以不是线性变换. (4) 在P3中, A ()=. 证明: (=(), (=()( P3. A =+= A (+ A (. A (k()=A ((). A是一个线性变换. (5) 在P[x]中, A f(x)=f(x+1). 证明: ，k(P, 令，, 则 因此是一个线性变换 (6) 在P[x]中, A f(x)=f(x0). 证明: , . 因此这里的投射是一个线性变换. (7) 把复数域看成复数域上的线性空间, A . 答: A不是线性变换. 取k=i, A = kA. (8) 在中, A (X)=BXC. 证明: (X, Y(, k(P , A (X+Y)=B(X+Y)C=(BX+BY)C=BXC+BYC = A (X)+ A (Y). A (kX)=B(kX)C=k(BXC)= A k(X). 故A是一个线性变换.. .2. 在几何空间中,取直角坐标系Oxy, 以A表示将空间绕Ox轴由Oy向Oz方向旋转90度的变换, 以B 表示绕Oy轴由Oz向Ox方向旋转90度的变换, 以C 表示绕Oz轴由Ox向Oy方向旋转90度的变换. 证明: A4=B 4 = C 4=( . AB(B A. 但是 A2 B 2= B 2A2. 并验证(AB)2= A2 B 2是否成立. 证明: 设(x , (y , (z 分别表示Ox, Oy和Oz轴上的单位向量, 为空间的一点M, 则 A(x=(x, A (y = (z, A(z = ((y. 于是 A =,同理有B =, C=. A 2 =, A3=, A4=. 事实上, A4为绕Ox轴旋转360度的变换,所以A4=(. 同理, B 4 和C 4也是恒等变换. AB (1,0,0)=(0,1,0). BA(1,0,0)=(0,0,(1), 所以AB(B A. A2 B 2=, B 2A2=, 得A2 B 2= B 2A2. (A B )2=, 所以(A B )2( A2 B 2. 3. 在P[x]中, A, B , 证明AB(B A=E. 证明: (AB(B A)f(x)= A(B (f(x)) (B (Af(x))= A((x f(x)) (B (f (x)) = x f (x)+ f(x) ( x f (x)= f(x)= E f(x), 对任意的f(x)( P[x]均成立. 所以 AB(B A=E. 4. 设是A, B线性变换, 如果AB(B A=E, 证明 A kB(B A k=kA k-1. 证明: 证：当k=1时（已知） 设 也成立 故对一切自然数 例进一步 P321.5 可逆换是1-1对应 证：设A的逆变换A-1，则 矛盾,故象不同A-1是单射（1-1的） 此外若有 是满射（映上的）∴是1-1对应 P321 6 若A可逆，可 对于 故线性无关 若A，则A是一个基与基之间的过渡矩阵，A可逆，由定理2④，一个可逆变换。 ①在标准基下的矩阵 7、②（1） （ii） (iii) 7 ③ 7 ④ 7 ⑤ 那么 = 7 ⑥ 7 ⑦（同上） P322.8 P322 9①在下的矩阵为 ②在下的矩阵为 ③在下的矩阵为 P322.10反没有不全为0，使 而是 第一个非0数，故 两也用作用 则只留下，但， （与的选择矛盾！） 故线性无关。 P322 11 （由10题），，线性无关，做成空间的一个基 且 = == 而为所求证。 13 设 对任意可逆矩阵T 那么 由已知在任意基下矩阵相同，故 即 与任何可逆矩阵可换 特别的令（矩阵单位） 因此A与任何矩阵可换，所以 14①、 所求矩陈为： 14② 若，则，基础解为 14③令，则 14 ④令 可 15 ①若 则会有