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线性代数综合练习参考答案 一、选择题 1.D 2.A 3.A 4.D 5.D 6.B 7.D 8.C. 9.B 10.B 11.A 12B 13C 14B 15C 16C 17A 18A 19D 20D 21A 22B 23C 24A 25C 26D 27A 28D 二、填空题 1. 2. 3. 4．0 5．4 6. 7． 8． 9． 10． 11．2 12． 13．线性无关 14．相关 15．3 16．有非零解 17．只有零解 18．3 　 19．1　 20． 21．是自由未知量） 22．无关的 23．只有零（或有惟一） 24． 三、计算题 1．解： 2． 3．解：（1） （3） 4．解： 5．解： 6．解：由xAB+yCD=E，知 7．解：  8．解：由矩阵减法运算得 　　　　　令： 利用初等行变换得 　　　　　　　 　　　　　　　 　　由矩阵乘法运算得 　　　　　　 9． 10．解：将向量组组成的矩阵化为阶梯形 由此可知该向量组的秩为3，且是一个极大无关组．　 11。解：设，比较对应分量得 12．解： 一般解为 ， 所求基础解系为。 13. 解： 因为 　　所以，当时方程组有非零解.且一般解为 　　　　　　　　（其中为自由未知量） 令=，得，即为通解（是不为零的常数） 14． 解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 　　　　 　 令，得齐次方程组的一个基础解系：　　　　 令，得非齐次方程组的一个特解： 由此得原方程组的全部解为 　　　　　　（其中为任意常数） 15.解：(1)当 一般解为 为非齐次方程组的一个特解 为齐次方程组的基础解系 16．解：系数矩阵的行列式为： （1）当时，即，方程有唯一解。 （2）当时， 则时，方程无解 时，方程有无穷多解且一般解为 是自由未知量） 17． 解：由题意可知为自由未知量 令： ，得齐次方程组的一个基础3解系 令为0，得非齐次方程的特解为 则原方程的全部解为 18.解：因为本方程组为四元线性方程组且系数矩阵的秩为3，所以对应的齐次方程组的基础解系的向量的个数为： 由方程组的性质知基础解系的解向量为： 由解的结构知非齐次方程组的通解为： 四、证明题 由行列式的性质知 能被13整除 证明：由题意知设 由恒等的关系知 可逆，且 3．证明： 任意的方阵都是对称矩阵 4．证明：设存在一组数，使成立 因为线性无关，所以 线性无关. 5.证明：因为向量组线性相关，故存在一组不全为0的数，使成立． 于是存在不全为0的数， 使成立， 由相关性定义知必线性相关． 6.证明：（1）当时，则， 又因为，所以，则 （2）当时，说明所有的阶子式都为零 AS 8