2017北京中考复习-数学热点专题突破专题五--新定义问题探究.docVIP

专题五 新定义问题探究 本专题是新定义问题的探究，主要针对2015年、2016年北京市中考数学第29题，是对学生自主学习能力的考查.学生通过现场阅读学习，理解题中给出的新定义，通过简单特例进一步认识新定义所说的内容，重点是利用刚刚自主学习的新定义知识解决数学问题.此类问题在历次的考试中，学生感觉难度比较大.难度大的原因大多是阅读理解存在问题，不能理解新定义所讲述的内容；对新定义掌握不透彻，运用新定义存在问题.针对这类问题我们给出解题的策略：认真阅读，理解定义；根据题意画图，全面掌握定义；细作问题(1)、(2)，注意归纳结论；画图辅助拓展，关注临界各点. 典例诠释 例1 (2016·北京)在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，且，，若P,Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P,Q的“相关矩形”.图2-5-1为点P,Q的“相关矩形”的示意图. (1)已知点A的坐标为(1,0)， 若点B的坐标为(3,1)，求点A,B的“相关矩形”的面积； 点C在直线x=3上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式； (2)O的半径为，点M的坐标为 .若在O上存在一点N，使得点M,N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围. 图2-5-1 【解】 (1)S＝2×1＝2； C的坐标可以为(3，2)或者(3，－2)，设AC的表达式为y=kx+b， 将A,C两点的坐标分别代入AC的表达式得到或 解得或 则直线AC的表达式为y=x－1或y=－x+1. (2)若O上存在点N,使MN的相关矩形为正方形，则直线MN的斜率k=±1(正方形对角线)，即过M点作k=±1的直线,与O有交点，即存在N，当k=－1时，极限位置是直线与O相切，如图2-5-2,与，直线与O切于点N，ON=,ONM=90°,∴ 与y轴交于(0,－2),设点的坐标为, ,∴ =－5,(－5,3),同理可得(－1,3)；当k=1时，则极限位置是,(与O相切)，可得(1,3),(5,3).因此m的取值范围为－5≤m≤－1或1≤m≤5. 图2-5-2 【名师点评】 本题在自主学习的基础上，阅读理解新定义“相关矩形”，弄清楚什么叫“相关矩形”.理解关于P，Q两点的“相关矩形”对于P，Q两点的位置的要求，同时清楚“相关矩形”的边与坐标轴之间的特殊关系.这类问题的“入口宽”，问题(1)是对新定义的初步理解，并利用新定义解决简单、特殊的问题.本题(1)中给出A的坐标(1,0)，在中给出B点坐标(3,1).由定义知道关于A，B两点的“相关矩形”中，A，B是对角顶点，且矩形的长和宽分别与y，x坐标轴垂直，因此易得关于A，B相关矩形的面积为S=2×1=2;将深化，点C在直线x=3上，且关于A，C的“相关矩形”是正方形.因此我们可以得出点C的坐标为(3,2)或(3，－2)，设直线AC的表达式为y=kx+b,将A，C两点的坐标分别代入AC的表达式，可以求出相关k，b的值，从而得到表达式y=x－1或y=－x+1.(2)中给出M点坐标为(m，3)，知道点M在直线y=3上，由可以推知，直线MN的k值为1或者－1,即点M，N在直线y=x+b或y=－x+b上.因为点N在半径为的O上，由直线和圆的位置关系可以求出1≤m≤5或－5≤m≤－1. 例2 (2015·西城一模)给出如下规定：两个图形和，点P为上任一点，点Q为上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形和之间的距离.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点. (1)点A的坐标为A(1,0)，则点B(2,3)和射线OA之间的距离为 ，点C(－2,3)和射线OA之间的距离为 . (2)如果直线y=x和双曲线y=之间的距离为，那么k= .(可在图2-5-3(1)中进行研究) (3)点E的坐标为(1,)，将射线OE绕原点O逆时针旋转60°，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M. 请在图2-5-3(2)中画出图形M，并描述图形M的组成部分；(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示) 将射线OE，OF组成的图形记为图形W，抛物线－2与图形M的公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离. (1) (2) 图2-5-3 【解】 (1)3，. (2)－1. (3)如图2-5-4，过点O分别作射线OE，OF的垂线OG，OH，则图形M为：y轴正半轴，GOH的边及其内部的所有点(图中的阴影部分). 图2-5-4 说明：图形M也可描述为：y轴正半轴，直线y=x下方与直线y=－x下方重叠的部分(含边界) . 【名师点评】 我们初中阶段学习过三个距离：两点之间的距离