浅析概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布.pptVIP

2.4.2.3 指数分布 若X 的密度函数为 则称X 服从参数为?的指数分布 记作 X 的分布函数为 ?? 0 为常数 * 对于任意的 0 a b, 应用场合: 用指数分布描述的实例有： 随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间 无线电元件的寿命 动物的寿命 指数分布常作为各种 “寿命”分布的近似 * 例2.4.6 令：B={ 等待时间为10-20分钟 } * 2.4.2.4 伽玛分布 设随机变量X，若X的密度函数为 则称X服从参数为 的伽玛（Gamma）分布,简称 为 分布, 注:伽玛函数具有性质： * 2.4.2.5 威布尔分布 (自学) 2.4.2.6 截尾分布(自学) * 设测量的误差 X～N(7.5,100)(单 位：米),问要进行多少次独立测 量,才能使至少有一次误差的绝对 值不超过10米的概率大于0.9 ? 解: 设A表示进行 n 次独立测量至少有一次误差的绝 对值不超过10米 n 3 所以至少要进行 4 次独立测量才能满足要求. 课堂练习 * 2.5 随机变量函数的分布 2.5.1 离散型随机变量函数的分布 2.5.2 连续性随机变量函数的分布 * 问题：已知随机变量 X 的概率特性 ——分布 函数 或密度函数（分布律） Y = g ( X ) 求随机因变量Y 的概率特性 方法：将与Y 有关的事件转化成X 的事件 * 设随机变量 X 的分布律为 由已知函数 g ( x) 可求出随机变量 Y 的所有 可能取值，则 Y 的概率分布为 2.5.1 离散型随机变量函数的分布 * 第 一 种 情 形: * 第 二 种 情 形: * 例2.5.1 已知 X 的概率分布为 X pk -1 0 1 2 求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律 解: Y 1 pi -3 -1 1 3 * Y 2 pi 1 0 1 4 Y 2 pi 0 1 4 * 已知随机变量 X 的密度函数 f(x) (或分布函数) 求 Y= g( X )的密度函数或分布函数. 方法： （1） 从分布函数出发 （2） 从密度函数出发 2.5.2 连续性随机变量函数的分布 * 设随机变量 X 具有概率密度： 试求Y=X-4 的概率密度. 解:(1) 先求 Y =X-4 的分布函数 FY(y)： 例2.5.2 * * 整理得 Y=X-4 的概率密度为： 本例用到变限的定积分的求导公式 * 例2.5.2 已知X 密度函数为 为常数，且 a ? 0, 求fY( y ) 解: 当a 0 时， * 当a 0 时， 故 * 例如，设 X ~ N (? ,?2) , Y = a X +b, 则 Y ~ N ( a? +b, a2?2 ) 特别地 ，若 X ~ N ( ? ,? 2) , 则 * 解：设Y的分布函数为 FY(y)， 设 X ~ 求 Y=2X+8 的概率密度. FY(y)=P{ Y y } = P (2X+8 y ) =P{ X } = FX( ) 于是Y 的密度函数 课堂练习 * 故 注意到 0 x 4 时， 即 8 y 16 时， 此时 Y=2X+8 * * * (6) 超几何分布 设有产品 件，其中正品 件，次品 件（ ） ，从中随机地不放回抽取 件， ，记X为抽到的 的正品件数，求X 的分布律. 此时抽到 件正品的概率为 k=0，1，… ， 称X 服从超几何分布.记 可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此在实际应用中，当 都很大时，超几何分布可用下面式子近似 * (7) 负二项分布（Pascal分布) (自学) (8) 截塔（Zipf）分布 (自学) * 课堂练习 1. 将一枚均匀骰子抛掷3次，令X 表示3次中 出现“4”点的次数 求X的概率函数 提示： * ２. 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数. 求X的概率分布. * X的概率函数是： 男 女 解:X 表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为p. X=0 X =1 X =2 X =3