精品第一章矢量分析与场论.pptVIP

3.标量场的梯度 （1）定义 标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在等值面的法线方向。 * 直角坐标系中梯度的表达式为： 理解 标量函数φ在P点沿 的方向导数等于梯度在该方向上的投影; 标量场的梯度是一个矢量,其大小是方向导数的最大值，即φ的最大空间变化率。 ▽×▽φ ≡ 0 * 例 三维高度场的梯度 例 电位场的梯度 高度场的梯度 与过该点的等高线垂直； 数值等于该点位移的最 大变化率； 指向地势升高的方向。 电位场的梯度 与过该点的等位线垂直； 指向电位增加的方向。 数值等于该点的最大方向 导数； * 四、矢量场的散度 1.矢量场的矢量线 矢量场空间中任意一点P处的矢量可以 用一个矢性函数F=F(P)来表示。当选定了 直角坐标系后，它就可以写成如下形式： * 对于矢量场F(x,y,z)，可以用一些有向曲线来形象的表示F在空间的分布，称为矢量线(Ｖector Line)。 在曲线上的每一点处， 场矢量都位于该点处的 切线上（如图示）。 像 静电场的电力线、磁场的 磁力线、流速场中的流线 等， 都是矢量线的例子。 * 2.矢量场的通量 将曲面的一个面元用 来表示,其方向 取面元的法线方向,即: 的指向有两种情况: 开曲面 闭合曲面 * 在矢量场F中取一个 面元dS及该面元的法向 单位矢量n。由于所取的 面元dS很小， 因此可认 为在面元上各点矢量场F 的值相同，F与面元dS 的标量积称为矢量场F穿过dS的通量(Ｆlux)。 即： F * 因此矢量场F穿过整个曲面S的通量为： 如果S是一个闭曲面， 则通过闭合曲面 的总通量可表示为： 净通量=流出-流入 * ? 0 (有正源) ? 0 (有负源) ? = 0 (无源) 若S 为闭合曲面，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质: * 设有矢量场F， 在场中任一点P处作一个包含P点在内的任一闭合曲面S，设S所限定的体积为ΔV， 当体积ΔV以任意方式缩向P点时， 取下列极限: 3.矢量场的散度 * 如果上式的极限存在， 则称此极限为 矢量场A在点P处的散度（Divergence）， 记作： 在直角坐标系中， 散度的表达式为 * 散度代表矢量场的通量源的分布特性 它表示场中一点处通量对体积的变化率，也 就是在该点处对一个单位体积来说所穿出的 通量，称为该点处源的强度； 矢量的散度是一个标量，它表示从单位体积 内散发出的通量（通量密度）； ?? F= 0 (无源） ?? F= ???0 (负源) ?? F= ??0 (正源) 理解： * 由于 是通量体密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分后，为穿出闭合面S的通量，即： 该公式表明了区域V 中场F与边界S 上的场F之间的关系。 矢量函数的面积分与体积分的互换。 高斯散度定理 理解： 4. 散度定理 * 1.环量 设有矢量场F， l为场中的一条封闭的有向曲线，定义矢量场F环绕闭合路径l的线?积分为该矢量的环量（Circulation）， 记作: 环量表示矢量绕线旋转趋势的大小。 注意: 方向 的确定. 五、矢量场的旋度 * 矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样， 都是描绘矢量场F性质的重要物理量.若矢量穿过封闭曲面的通量不为0，则表示该封闭曲面内存在通量源；同样，若矢量沿封闭曲线的环量不为0，则表示该封闭曲线内存在另一种源—漩涡源。 理解： 环量是一标量，其大小不仅与闭合曲线的大小有关，还取决于该曲线相对于矢量的取向。 * 设P为矢量场中的任一点， 作一个包含P点的微小面元ΔS， 其周界为l，它的正向与面元 ΔS的法向矢量n成右手螺旋关 系(如图所示)。 当曲面ΔS在P点处保持以n为法矢不变的条件下，以任意方式缩向P点，若其极限存在，则称为矢量场在P点处沿n方向的环量面密度。 2.旋度 * 在给定点上，上述极限对不同的面元是不同的。为此，我们引入如下定义，称为矢量场 F的旋度，记为： 可见，旋度是一个矢量，其大小是矢量A在给定处的最大环量面密度，其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时该面元的方向. * 在直角坐标系中，旋度的表达式为： * 理解： 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 在矢量场中，若??F?0,称之为旋度场(或涡 　旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)； 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 若矢量场处处??F=0，称之为无旋场(或保守 场) 。 * 3. 斯托克斯(Stockes)定理