高等数学函数极限.doc

第一章 函数极限与连续 高等数学可以说是变量数学，它的研究对象、研究方法与初等数学相比都有相当大的差异。它主要研究对象是函数，它的主要内容是微积分学，它的主要手段是以极限为工具，并在实数范围内研究函数的变化率及其规律性，从而产生微积分的基本概念及性质。本章主要介绍函数的概念及其基本性质；数列与函数的极限及其基本性质；连续函数的概念及其基本性质，为进一步学好函数的微积分打下一个良好的基础。 第一节 函数的概念 一、几个基本概念 1 常量与变量 在日常生活或生产实践中，观察某一个事件的结果往往是用一个量的形式来表现的，在观察的某一个过程中始终保持不变的量称之为常量，经常变化的量称之为变量。通常用小写字母a、b、c …… 等表示常量，用小写字母x、y、z、…… 表示变量。 例如：圆周率是永远不变的量，它是一个常量；某商品的价格在一定的时间段内是不变的，所以，在这段时间内它也是常量；又如一天中的气温，工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量，这些量都是变量。 注意： 1 常量和变量是相对的，它们依赖于所研究的过程和所研究的对象。在不同的过程中常量和变量是可以转化的。如商品的价格，某段时间是常量，另一段时间就有可能是变量了； 2 从几何意义上来表示，常量对应数轴上的定点，变量对应数轴上的动点。 2 集合、区间 集合是表示具有同一种属性的全体。 例如：某班的全体学生组成一个集合；长虹集团05年度的所有产品组成一个集合；所有正有理数仍组成一个集合等等。 有关集合的运算、集合的表示等方面的基本知识，中学数学已有介绍，这里就不一一赘述了 下面向读者介绍高等数学中常用的数集及其简明表示符号： 开区间：= ； 闭区间：； 左半开区间（或右半闭区间）； 右半开区间（或左半闭区间）； 上述四个区间的长度都是有限长的，因此把它们统称为有限区间。 无穷区间有： ；；； ；。 如无特别声明，可用如下符号表示一些常用数集： R —— 实数集；Q —— 有理数集；Z —— 整数集；N —— 自然数集。 有时为了讨论数轴上某点附近的性质，为此引入邻域的概念。 定义1设是一个实数，是正数（通常是指很小的数），数轴上到点的距离小于的点的全体，称为点的—邻域，记为。即： = 数集称为点的去心—邻域。记为 二、函数的概念 定义2 设x, y是两个变量，是上的非空数集，对任意的，通过某一个确定对应关系（或对应法则），在实数集上有唯一的一个与之对应，则称是从到上的一个函数（也称为定义在D上的函数），记为： ：， 简记为： 通常把称为自变量，称为因变量（或x的函数），的取值范围称为函数的定义域（就是本定义中的）。一般情况下，用Df表示函数的定义域。当取时，按照对应法则有与之相对应，并称其为函数在点x0处的函数值；当在区域上取遍时，所对应的函数值的全体称为函数的值域，记为Rf 。即 对于函数概念，以下几点是值得注意的： 1 以上函数定义基本上是按照初等数学中所描述的方式给出的，它指的是单值函数； 2 函数的实质是对应关系（或对应法则），只要两个变量之间能找到一种对应，我们就说它们之间确定了一个函数； 3 确定函数有两个要素，这就是：定义域与对应关系； 4 函数之间可以定义加、减、乘、除等运算，但是运算必须在所有函数都有意义的公共范围内进行。 有关函数的相等、函数的定义域、值域；函数的四则运算等概念在中学数学课本中已有介绍，这里就不再复述了。 下面我们来看几个具体的例子： 例1 由关系式 能确定两个变量x与y之间的一种对应关系，可以说是一个函数关系，但它不是我们所指的函数。比如x = 0时，相应的y可以等于1，也可以等于-1。其实它们是这样两段函数，这类函数我们称为多值函数。 例2 函数 的定义区域为R，值区域为，它称为绝对值函数，其图像如图1-1。通常这类函数称为分段函数。 所谓分段函数是指：函数在定义域的不同范围内的函数表达式不同，它实质上是一个函数，不能理解为两个或多个函数。 例3 函数 称为符号函数，这也是分段函数，记为，它的定义区域Df =，值域Rf =，它的图形如图1-2所示。对任何实数都有下列关系式：成立，所以它起着一个符号的作用。 例4 狄立克莱函数（ 它的定义区域是Df =，值域是Rf =。 三、函数的表示法 1 解析法（公式法）：把两个变量之间的关系直接用数学式子表示出来，必要的时候还可以注明函数的定义域、值域，这种表示函数的方法称之为解析法。这在高等数学中是最常见的函数表示法，它便于我们进行的理论研究。如：例1，例2等。 2 表格法：就是把自变量和因变量的对应值用表格形式列出。这种表示法有较强的实用价值，比如三角函数表、常用对数表等等。 3 图示法：用某坐标系下的一条曲线反映自变量与因变量的对应