第二讲 计算综合 -教师版.docVIP

精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号 ____________ 学员编号： 年 级： 课时数： 学员姓名： 辅导科目 ： 辅导教师： 课 题 第二讲 计算综合 授课时间及时段： 教学目标 重点、难点 教学内容 计算问题是学习数学必不可少的一个环节。无论是要学好课内知识，还是要学好奥林匹克数学，解决好计算问题，都是一个很重要的因素。要掌握较复杂的各类计算，不仅需要熟练的掌握各类运算法则、定律、性质，还需要掌握各类运算的技巧。关键要对题目进行认真的观察，识别算式的特点及各数之间的关系，巧妙、灵活地运用运算定律，使计算变得简单易行。因此，解决好计算问题，对于开拓学生的视野，启迪学生的思维，培养学生综合应用知识的能力，将会起到重要的作用。 一、利用法则进行运算 在很多的数学竞赛中，经常出现这样一类的运算。从算式的特征和各数的关系上，并不具备简算和巧算的特点。这类计算通常是考察同学们的运算能力。这类题目通常数目较大，并且计算较繁琐，在解题的过程中需要同学们要有足够的耐心，并且要具有扎实的基本功。 例1 计算： 分析：这道题目计算步骤较多，同时又不具备简算和巧算的条件，主要是考察同学们的计算能力。但在计算的过程中，同学们也要注意合理地运用法则，恰当地使用通分和约分及分数和小数转化的手段，从而使计算变得相对简单，提高计算的准确性。 解答： 说明：本道例题选自《第八届华罗庚金杯复赛》的第一题，不难看出要准确地解答这道题目，要求学生具备扎实的基本功。但是“硬算”并不等于傻算。如果能像解答中合理的控制分数与小数的转化，掌握好约分和通分的时机，也可以使解答变得相对简单。 二、合理、灵活地运用所学的定律和性质进行计算 在较复杂的运算中，利用所学的运算定律和性质进行简算和巧算，是很常见的一种变化类型。由于一般情况下数比较大，运算比较复杂，因此要求学生要善于观察数与运算符号的特点。抓住它们之间的联系，合理地运用定律和性质。 例2 计算： 分析：这道例题初看时，并不具备简算的特点，但是仔细观察可以看出两步乘法运算中分数的分母都是19；并且两步乘法运算之间的运算是加法，具备乘法分配率逆运算的运算特征。如果能找出公因数，就可以进行简算。进一步观察可以看出；，从而发现公因数，因此可以利用乘法分配率进行运算。 解答： ? 说明：竞赛中的题目，通常难度都较大，需要同学们要善于捕捉题目中可利用的条件。只有善于观察的人，才有可能找到解题的捷径。但是值得注意的是运用定理和性质必须要合理，不能够为了简算随意编造，这样反而会适得其反。 三、学会使用完全平方公式和平方差公式 完全平方公式和平方差公式在小学的课程并不要求掌握，但是在小学的数学竞赛的计算中，它们却起着相当重要的作用。这就要求同学们很好的了解并掌握它们。学会使用这两个公式，将使一些看似复杂的计算变得相对简单。下面我们首先了解这两个公式的具体内容： 平方差公式： 完全平方公式： 在使用这两个公式时，既可以正向使用，又可以逆向使用。值得注意的是在使用时，同学们一定要注意计算过程中运算的特点和数的特征。只有恰当地合理地使用公式，才会起到事半功倍的效果。 例3 分析：不难看出这道题如果按部就班的进行计算，将会非常复杂。了解了平方差公式的特点，就可以发现恰好符合平方差公式的特征。利用公式对算式进行转化，将会使计算变得简单。 解答： ? 说明：可以看出，由于合理地利用了平方差公式对算式进行了转化，从而使计算变得相对简单。但要注意的是（100+99）×（100－99）并没有立刻计算成199，而是在计算时充分利用了数列的特点，将计算转化成了1至100的等差数列，从而使计算变得更加简单。因此，在使用公式的时候要相对灵活，随时观察运算的特征，善于抓住任何可利用的有利条件。 例4 计算： 分析：这道题数目很大，按常规进行计算很难解决。尤其是题目中的两个平方数，更是难于计算出结果，分子和分母之间又不具备公因数，不能通过约分使数目简化。这样一道看似无法解决的题目，如果利用完全平方公式进行合理的转化，就可以使它得以解决。 分母中的200220022可以看成2)22×222，这时，分母中利用完全平方公式转化成再加上分母中本身含有的1就可以将分母进一步进行转化，从而确定分母与分子之间的联系，使计算简化，并且得以进行。 解答： 说明：本道例题选自2002年我爱数学少年夏令营计算竞赛的第7题。在解答的过程中，巧妙的利用了完全平方公式。通过合理的转化，使分母中的20022002