第二章平面问题的复变函数解法-2009.docVIP

平面裂纹问题的复变函数解法 绪论 如果二元实变函数在区域内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯（Laplace）方程 则称为区域内的调和函数。 弹性力学的分析表明, 平面问题可以归结为求解满足双调和方程的应力函数，并使其在边界上满足全部边界条件。双调和方程的解为双调和函数。 在数学中，复变解析函数的实部和虚部均为调和函数(满足)。而利用复变解析函数来讨论含孔、裂纹等结构的平面问题比较方便。 1．复变函数的基础知识 复数 为虚单位 复变数（量） 实变数和分别称为复变数的实部和虚部，记为：， 则有： (2-1-1) 的极坐标形式为 的共轭复数 复变函数 以复变量为自变量的函数, 称为复变函数。复变函数也可以看成是由它的实部和虚部所组成，有： (2-1-2) 例如 则有 ， 几何上，可以将函数看成复数平面上的点到另一复数平面上的点的变换, 变换关系如图2-1-1所示。 图2-1-1 复数平面变换图 复变函数的导数 设复变函数在某一点的领域内有定义，取为复值增量，若 (2-1-3) 极限存在，则在点处可导，并记为，即为在点处的导数。 注意在复变函数可导的定义中，的方式应该是任意的，定义式（2-1-3）极限值存在的要求与的方式无关。 复变函数的实部和虚部对，足够高阶的偏导数，还不能说明极限式（2-1-3）一定存在。例如 若取，则 若取，则 可见，当取不同值时，（2-1-3）式所示的极限并不相等，说明此极限并不存在。 由复变函数可导定义的这一特点出发，可导出复变函数可导的充分与必要条件。设 和在区域内有对的一阶连续偏导数，则函数在内一点处可导的充分与必要条件为 （2-1-4） （2-1-5） 这一条件称为柯西—黎曼（Cauchy—Riemann）条件。 事实上，若取，则有 （2-1-6） 证明：设 （） ， 再取，有 （2-1-7） 为使导数存在，上述两个极限必须相等，即得（2-1-4）、（2-1-5），由此证明了必要条件，充分条件证明从略。 由（2-1-6）、（2-1-7）两式，可以直接得到复变函数对的导数的实部和虚部与复变解析函数的实部和虚部对，的偏导数之间的以下重要关系： （2-1-8） （2-1-9） 解析函数 在平面的域中，函数称为解析的需要满足以下条件，即在域内任意一点，可用极限方法决定其导数，而且导数是唯一的，与趋于零的路线无关。 换句话说，如果函数在及的领域内处处可导，则称在解析，如果在区域内的每一点解析，则称为内的解析函数。 如果在不解析, 那么称为的奇点。 复变解析函数的调和性 如果二元实变函数在区域内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯（Laplace）方程 则称为区域内的调和函数。 从柯西—黎曼条件出发，可以证明，复变解析函数的实部和虚部都满足调和方程，所以都是调和函数。 将（2-1-4）式对求偏导，（2-1-5）式对求偏导，相加后得： 有： 将（2-1-5）式对求偏导，（2-1-4）式对求偏导，相减后得： （2-1-10） 将使构成区域内解析函数的调和函数称为的共轭调和函数。 调和函数与双调和函数之间具有下列关系： 若是一个调和函数，它必然是一个双调和函数。这是因为若成立，则必然成立。 若是一个调和函数，则，，都是双调和函数(式中极坐标)。 证明： （用到