有关函数、数列周期性的一些研究-CHTS.docVIP

《有关函数、数列周期性的一些探究》的教学设计 嘉定一中 杨枝 教学内容解析 本课是高三的一节复习课，旨在引领学生对函数、数列的周期性进行一番自主探究。在高一第二学期的数学教材中，《三角函数》一章就以三角函数为例介绍了函数的周期。尊重教材而不拘泥于教材。我们不应仅局限于研究三角函数的周期性，而应致力于探究“利用函数的周期性可以研究函数的哪些问题”。同时，数列作为定义域为正整数集的一类特殊函数，它的周期问题可以由函数周期问题类比推得。 学生学情分析 本课的授课对象是高三理科班学生，他们基础知识扎实，数学探究能力较强。此外，该班学生已经能够熟练使用CASIO图形计算器,初步具备了在数学实验的基础之上进行猜想、论证的能力。 教学策略分析 本节课遵循“以教师为主导，以学生为主体”的原则，在学生的最近发展区上展开探究式教学。 1. 教师引导学生积极思考，发展学生独立地提出数学问题的能力。学生在两年多的高中生涯里，对数学题目可谓见多识广，但在绝大多数的时间里都沉浸在数学解题的乐趣中，鲜有机会自己提出数学问题，本堂课就提供了这样一个机会。 2. 基于数学实验进行大胆猜想、严格论证。借助CASIO图形计算器，我们省去了繁琐的计算，避免了不必要的错误。直观图形或精确数据为学生进行合理猜想提供了保障，为之后的数学论证奠定了基础。 3. 以“问题链”的设置，引领学生进行思考，共同完成探究任务。例如：问题2、问题3、问题4就形成了一个递进式层层深入的“问题链”：以一个简单的问题开始—— 研究周期函数（周期函数与非周期函数的和函数）的函数值，过渡到一个较为复杂的问题——研究周期函数与非周期函数的和函数的值域，进一步引申到一个很难的问题——研究与周期函数与非周期函数的和函数相关的不等式恒成立（有解）问题。“问题链”对于教学的意义正如布鲁纳所指出的“问题常常作为一种标准，决定着学生素质的现状以及他们理解的程度……,从一定意义上说，问题是通向理解之途。” 图形计算器支持 CASIO图形计算器强大的绘图和计算功能为学生进行数学实验提供了保障，克服了过去教学中没有充裕的时间给学生亲手实验的窘境，现在学生在亲手操作中感知了猜想——论证的数学思维过程。例如：面对问题6——研究函数与函数的交点问题，倘若学生作草图不但费时而且极易出错，现在在CASIO图形计算器的辅助下学生可以方便地绘出的函数图像，通过观察该直观图学生将直接得出交点的个数。 教学目标 类比函数周期性的定义，归纳出数列周期性的定义。 利用周期性研究某些函数、数列的一些问题（例如：函数值、函数值域等）。 教学重点难点 1. 函数、数列的类比关系。 2. 利用周期性研究某些函数、数列的一些问题（例如：函数值、函数值域等）。 教学过程 一、复习引入——回顾函数周期性的定义 函数周期的定义：对于函数，如果存在一个常数（），使得当取定义域内的任意值时，都有成立，那么函数叫做周期函数，常数叫做函数的周期。如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期，简称为周期。 设计意图：复习教材中基础知识——函数周期性的定义。立足学生已有的知识，迈向新问题的探索。 二、问题探索——有关函数周期性的一些研究 【问题1】 函数是周期函数，周期为，如果已知函数在一个周期上的解析式，那么我们可以利用周期性研究周期函数的哪些问题呢？ 设计意图：引领学生站在一个较高的高度，审视函数的周期性及其应用，进而尝试着独立设计问题（例如问题2）、思考问题、解决问题。 答：我们通过研究一个周期上的函数值，可以求得定义域上任意一个函数值；通过研究一个周期上的解析式，可以求得定义域上全局的解析式；通过研究一个周期上的值域，可以求得定义域上全局的值域；通过研究一个周期上的单调性、对称性，可以求得定义域上函数全局的单调性、对称性甚至奇偶性；通过研究一个周期上的零点个数，可以求得指定在定义域上更大范围内的零点个数；进而可以研究与其他函数的图像是否有公共点… 1. 求周期函数（周期函数与非周期函数的和函数）的函数值 【问题2】设是定义在上，周期为的函数， (1) ，则__________。 (2) 若且，则__________。 设计意图：问题2由学生自行设计、自行解决，通过研究一个周期上的函数值，可以求得周期函数在定义域上的任意一个函数值，也可以求得周期函数与非周期函数的和函数在定义域上的任意一个函数值。更重要的是借此发展了学生“提出问题”的数学能力。 2. 求周期函数（周期函数与非周期函数的和函数）的值域 【问题3】（2011 上海）设是定义在上，周期为1的函数，若函数在区间的值域为，则在区间上的值域为_________________。 设计意图：以2011年上海高考名题启发学生通过研究一个周期上的值域，求得周期函数在