常微分方程--第六章 （6.1-6.3节）.pptVIP

如果系统(6.1.6)的某个解 满足对一切 均有 其中　　 为一个常数，则称此解 为(6.1.6) 的一个周期解。 例6.1.5 用Maple命令画出下边捕食被捕食系统的 方向场及一些轨线图 (图6.1) 用Maple命令画出的图形见 从计算机的模拟看出系统有多个周期解。 下边我们给出系统(6.1.6)的解的稳定性的定义。 (图6.2)。 设(6.1.6)的右端函数　　　 ，对于 　　　　和 连续，关于 满足李普希兹条件。且 (6.1.6) 有一个解　　　　定义于　　　　　及 如果对于任意的　　　 存在一个 使得对于(6.1.6)的任一满足 的解 只要： (6.1.9) 就有 (6.1.10) 对于所有的 成立，则称方程（6.1.6）的解: 是李雅普诺夫意义下稳定的，简称稳定的。 如果(6.1.6)的解 不是稳定的，则称它是不 稳定的。 (6.1.6)零解稳定的几何意义是对任意给定的半 径总能在中 找到一个以原点为中心、半径为 的开球　 ，使得(6.1.6)在时刻从出发的解曲线当 时总停留在半径为 的开球 内。 图6.3 如果方程(6.1.6)的解 是稳定的，而且 存在一个常数 ，使对于一切满足 (6.1.11) 的解 ,都有 (6.1.12) 则称解 是渐近稳定的。 如果(6.1.6)的解 是渐近稳定的,且存在 区域 ，只要 ，就有 稳定域或吸收域。 则称区域 为(6.1.6)的解 的渐近 如果解 的渐近稳定域是全空间，则 称此解是全局渐近稳定的。 例如前边的例6.1.1中的系统（6.1.2）中的 就是稳定的且是渐近稳定的，而解 就是不稳定的。 关于稳定性还有几点要注意的: 注1 上边的定义中是针对 或 ， 以有时把上边定义中的稳定性称为正向稳定的（不 稳定的，渐近稳定的等），如果把 的趋向改为 或 ，相应地可定义负向稳定的 (不稳定的，渐近稳定的等)，以后如无特别声明我 们所说的稳定性均指正向稳定性。 注2 当定义中的 为系统的奇点时 即可得出奇点的稳定性。 注3 由于在研究（6.1.6）的某一特解 的稳定性时，总可以用变换 (6.1.13) 将(6.1.6)化为 (6.1.14) 其中 (6.1.15) 且显然有 即(6.1.6)的特解 对应着(6.1.14)的零 解 ，因而研究(6.1.6)的特解 的 稳定性问题就转化为研究（6.1.14）的零解（奇点） 的稳定性问题。 图6.1 图6.2 §6.2 几乎线性系统解的稳定性 6.2.1 平面几乎线性系统和稳定性 6.2.2 高维几乎线性微分方程组的稳定性 1 稳定性的概念 主要研究系统处值变化不大时的解在无限区间 上的变化情况，变化不大，称为系统是稳 定的，变化大，不稳定。 在实际中，是有很重要的意义的。 比如说火箭的发射 ，“差之毫厘，谬以千里”。 稳定性的研究工作，贡献最大的是 李雅普诺 夫 。他创立了两种方法，第一方法，第二方法， 后者又称为直接法。 2 数学上的定义 方程组 满足 的解。 ( 一般与 和 有关)。 满足 时,有 ， 对 则称为方程组的重解 为稳定的， 否则称为是不稳定的。 若重解 稳定，且 ， 当 时, 满足初始条件 的解均有： 则称重解为渐近稳定的。 如果解 是渐近稳定的 ，一切 区域 , 只要 就有： 则称区域 为解 的渐近稳定域或吸收域。 若渐近稳定域是全空间的,则称解为全局渐近 全局渐近稳定的。 3.稳定性的判断（李维普诺夫第二方法） 1.定量函数 设 为定义在 上的单 值连续函