高等代数--第一章 行列式.ppt

定理6 如果线性方程组 （1） 的系数行列式 那么线性方程组（1）有解，并且解唯一，解可以通过系数表为 （2） 其中 j=1,2,…n。 1、方程组有解； 2、解是唯一的； 3、解由公式（2）给出 定理中包含三个结论 证明 1、把方程（1）简写成 （3） 首先证明（2）的确是（1）的解. 把（2）代 入第 i 个方程左端为 因为 所以 所以公式（2）确为方程（1）的解。 2、设 是方程（1）的另一个解，于是有 （4） 为了证明 我们将A中第k列元素的代数余子式 ，乘（4）中n个恒等式，有 把它们加起来，即得 （5） 等式右端为 按第k列展开结果。（5）式左端， 上式用了定理3 于是（8）即为 也就是 这就说明方程组最多有一组解。 1、2说明方程组仅有一组解，即公式（2）. 例 解方程组 解 系数行列式 所以方程组有唯一解 Cramer法则只对系数行列式不为零的情况成立，行列式为零的情况将在下一章中介绍 常数项为零的方程组称为齐次线性方程组 定理7 如果齐次线性方程组 （6） 的系数行列式D≠0，那么它只有零解，换句话说，如果方程组（6）有非零解，那么必有D=0. 由Cramer法则容易证明. 例 求 在什么条件下，方程组 有非零解。 解 系数行列式为 所以，当 时，方程组有非零解。 Cramer法则理论价值高，实际计算量很大，一般不用此法计算线性方程组。 §4 n阶行列式的性质 按行列式的定义计算行列式，要算n!项，计算需n!(n-1)个乘法，所以按定义计算几乎是不可能的. 性质1----7 运用性质计算行列式 性质1 行列式与它的转置行列式相等 性质2 行列式某一行有公因子，可以提出去，即 推论 行列式中一行为零，值为零. 性质3 性质4 对换行列式两行位置，行列式反号 首先 和 中含有相同的项 对于 中任意一项 符号是 在 中，该项 也出现， 注意 在第 K 行， 在第 i 行，符号是 得到 性质5 如果行列式中两行相等，值为零. 证明 由性质4 性质6 如果行列式中两行成比例，值为零. 证明 由性质2，5 性质7 把一行的倍数加到另一行，行列式不变. 证明 例1 计算n级行列式 解 例2 一个n阶行列式，假设它的元素满足 （4） 我们来证明，当n为奇数时，此行列式为零。 证