高等代数--第三章 矩阵.ppt

第三章 矩阵 矩阵的运算 矩阵的逆 初等矩阵 矩阵的等价 矩阵的分块 §1 矩阵的运算 矩阵的加法、减法 矩阵的数乘 矩阵的乘积 矩阵的转置 矩阵乘积的行列式 矩阵的定义 定义1 由 个数排成的m行n列的表 称为一个 矩阵. 以后我们用A,B,…或 来表示矩阵. 有时也记为 矩阵相等 矩阵的加法 定义2 设 则 称为A与B的和，记为C=A+B. 即对应元素相加. 相加的矩阵必须有相同的行数及列数. 有下列性质: 结合律：A+(B+C)=(A+B)+C 交换律：A+B=B+A。 零矩阵 元素全为零的矩阵，记为 A的负矩阵 A-B=A+(-B). 数量乘法 矩阵 称为矩阵 与数k的数量乘积， 记作kA。 矩阵乘法 那么 例1 设 那么 矩阵的乘法满足结合律： A(BC) = (AB)C 矩阵乘法不适合交换律。 （1）AB有意义，BA不一定有意义； （2）AB,BA都有意义，级也不一定相等； （3）即使AB,BA都是同级矩阵AB与BA也不一定相等。 矩阵乘法的消去律不成立。 即当AB=AC时， 不一定有B=C 矩阵的乘法和加法适合分配律： A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA 定义 矩阵 称为n级单位矩阵，记为 ，或者在不致引起含混的时候简记为E 数量矩阵： 数量矩阵与所有的n×n矩阵是可以交换的，有 kA=(kE)A=A(kE). 数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法，及有 kE+lE=(k+l)E, (kE)(lE)=(kl)E 定义矩阵的方幂：设A为n×n矩阵， 满足 但 与 一般不相等. 4、转置 定义5 所谓A的转置矩阵是指 或记为 满足以下规律： 下面验证第三条，设 AB中（i,j）元素为 所以 中（i,j）元素是 其次， 中(i,k)的元素是 ， 中(k,j)元素是 ，因而， 中 (i, j) 的元素即为 比较上面两式即得第三式. 例 设 于是 矩阵乘积的行列式 n阶方阵的行列式 关于矩阵乘积的行列式有 定理1 设A,B是数域P上的两个n×n矩阵，那么 |AB|=|A||B| 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积. 证明 于是 都是 n 阶方阵，则 推论 设A,B是数域P上的n×n矩阵，矩阵AB为非奇异的充分必要条件是A,B中都是非奇异的 矩阵的逆 可逆矩阵的定义 伴随矩阵的定义及其性质 利用伴随矩阵求矩阵的逆 逆矩阵的性质 本节讨论矩阵乘法的逆运算. 所讨论的矩阵是n×n的矩阵. E是n级单位矩阵，有AE=EA=A，所以E在方阵中的地位相当于1在复数中的地位. 一个复数 ，则 . 类似引入： 对于任意矩阵A，适合等式（1）的矩阵B是唯一的。 事实上，假设 是两个适合（1）的矩阵，有 A的逆矩阵，记为 . 定义7 设 是矩阵 中元素 的代数余子式，矩阵 称为A的伴随矩阵。 结论： （2） d=|A|。如果d=|A|≠0, 那么