第四章 高阶微分方程(4.2-4.3节).ppt

第二部分 线性非齐次常系数方程 线性非齐次常系数方程的待定系数法本节我们将研究线性非齐次常系数方程，在第2节给出的常数变易法比较繁琐，本节将给出比较简单的解法. 由数学归纳法知, 可用 来表达,将这些表达式代入 (3.1.3) 可得 即有新方程: 它比原来的方程降低了一阶. 所以 例 求解方程 于是原方程化为: 作为新未知变量, 取 解: 令 从而可得 及 代入原变量得: 故原方程的解为: 3、 全微分方程和积分因子 若方程 的左端是某个n-1阶微分表达式 对t的全导数，即 称(4.3.4)为全微分方程，显然有 (4.3.4) (4.3.5) 若求得（4.3.5）的全部解: 则它也一定是(4.3.4)的解. 后就成为全微分方程. 称其为方程(4.3.4)的积分 本身不是全微分 有时方程(4.3.4) 积分因子: 方程,但乘以一个合适的因子 因子. 例 求解方程 解：原方程可以写成 即 积分后得通解为 故有 例 求解方程 解: 方程两边乘以因子 方程化为: 故有 解得 故原方程的解为 显然 也是原方程的解. 4 、可降阶的高阶方程的应用举例 速度V运动，方向永远指向P点, 求M点的运动 在 轴上有一点P以常速度a沿着 轴 例１、 追线问题 平面上另有一点M,它以常 正向移动;在 轨迹. 解: 首先我们建立点M运动时所满足的微分 方程模型. 标,根据条件有 （4.3.7） 以 记点M在时刻t的坐标，以X记 图4.3.1 点P在时刻t的横坐标， 表示P点在t=0的横坐 （4.3.6） 把（4.3.6）代入（4.3.8），并记 （4.3.8） 得: 上式两边关于 作为自变量， 把 求导得 （4.3.9） 即 目录 上页 下页 返回 结束 4.2 常系数线性微分方程的解法 考虑常系数非齐次线性方程 (4.2.25) 当 是一些特殊函数，如指数函数，正余弦 函数，及多项式时，通常利用待定系数法来求解。 一、非齐次项是多项式 （4.2.26） 可取特解形式为 （4.2.27） 其中 是待定常数. 把 代入方程（4.2.26）左端为 考虑方程 比较方程 （4.2.28） 当 时, 待定常数 可以从（4.2.28）得出. 两边t 的同次幂的系数得到方程组 当 时, 零为方程的特征根，令 代入（4.2.26）比较 (4.2.29) 当 时, 对上面的方程直接积分可得出方程的特解: (4.2.29) 中的待定常数可以从上 面的方程组得出惟一解, 从而得出方程的特解. 当 时, (4.2.26) 变为 综上, 我们得到 (4.2.26) 有下面形式的特解: 其中是 待定的常数, 可以通过上面介绍的比较系数法惟一的来确定. 例1 求方程 的一个特解. 解: 对应的齐次方程的特征根为 因此, 该方程特解的形式为 将 代入方程得 比较上式两端的系数, 可得 因此, 原方程的一个特解为 例2 求方程 的通解. 因此, 齐次方程通解为 解: 对应的齐次方程的特征根为 再求非齐次方程的一个特解, 这里 因为 是特征方程的单根, 故特解形式为 将 代入方程得 因此, 原方程的特解为 因此, 原方程的通解为 二、非齐次项是多项式与指数函数之积 （4.2.30） 做变换 则方程（4.2.30）变为 由方程（4.2.26）的结果, 我们有(4.2.30) 有如下的 考虑方程 特解. 又因为方程 (4.2.30) 对应的齐次方程的特征方程为 因此方程 (4.2.30) 有关特解的结论如下: (4.2.31) (1) 当 不是(4.2.31) 的根时, 方程 (4.2.30) 的特解形式为 (2) 当 是(4.2.31) 的单根时, 方程 (4.2.30) 的特解形式为 (3) 当 是(4.2.31) 的重根时, 方程 (4.2.30) 的特解形式为 例3 求方程 的一个特解. 解: 对应的齐次方程的特征根为二重根 因此, 该方程特解的形式为 将 代入方程, 可得 因此, 原方程的一个特解为 例4 求